![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Властивості простих чисел1. Якщо р - п.ч і р:а, а≠1, аєN, то а=р Д-ня За означенням простого числа а може дорівнювати або 1, або р, оскільки за умовою а≠1, то а=р 2. Якщо р, q - п.ч., 3. якщо ab:p де a, bєN, p-просте число то або a:p, або b:p Д-ня Справді, кожен із співмножників або взаємно простий з р, або ділиться на р. Але якби всі множники були взаємно прості з р то їх добуток був би взаємно простий з р, тому хоч один з множників ділиться на р. 4. Для довільного натурального а і простого числа р або а:р, або (а,р)=1 Д-ня. Справді, НСД (а,р) як дільник числа р може дорівнювати або р або1. У першому випадку а ділиться на р, у другому- а і р взаємно прості. 5. Найменший неодиничний дільник натурального числа є числом простим. Д-ня. Нехай а – задумане число, якщо а – просте число, то його найменший дільник який ≠1, =а. Нехай а – складене число, і n1- його найменший натуральний дільник ≠1. Тоді число можна представити а=n1а1, а1єZ. Припустимо, що n1- складене число, тоді існує n2єN, n2≠1 таке, що n1::n2, і n1≠n2 у такому випадку число n2 буде також дільником числа а, меншим за n1, що суперечить вибору числа n1, отже n1- п. ч. 6. Найменший простий дільник складеного числа не перевищує кореня квадратного з цього числа. Д-ня. Нехай а-складне число, р-його найменший простий дільник. Тоді а=рb, bєZ, р≤ b. Тоді а=рb≥р2, р≤ 7. Якщо кожне просте число р≤
Теорема Евкліда: Множина простих чисел нескінчена Доведення: Нехай множина простих чисел скінчена і складається лише з чисел: Основна теорема арифметики: кожне відмінне від одиниці натуральне число можна розкласти на добуток простих множників, і до того ж єдиним способом (з точністю до порядку слідування множників). Д-ня: 1) n - просте то n=n і є шуканий розклад 2) будемо вважати, що n – складене, позначимо через р1 його найменший не одиничний дільник, тоді n можна розкласти на множники
Доведемо єдність цього розкладу. Припустимо супротивне: існує ще один розклад Нехай Нехай
Нехай a i b - цілі числа, b≠0, говорять, що а ділиться націло на b Ділення націло виконується не завжди на Z, проте, якщо виконується, то визначається однозначно Д-ня. Припустимо, що існує два представлення: а=bq1 та а=bq2, q1, q 2, єZ віднімемо рівняння, одержимо b(q1-q2) =0 Так як b≠0, то q1-q2=0 → q1=q2 і представлення єдине. Властивості: 1. Справді а=а*1, q=1 2. Дійсно, у першому випадку q±а, в другому- q= -1 3. Дійсно, при q=0, маємо вірну рівність 0=b*0 4. 5. Д-ня. За умовою а=bq1, q1єZ, b=сq2, q2єZ, тоді а=сq´, де q´=q1q2єZ, звідки а:с 6. Д-ня. За умовою існують q1, q2єZ такі, що а1=bq1, а2=bq2, додамо ці рівності а1+а2=b(q1+q2) → а1+а2=bq´ (q´=q1+q2), а отже а1+а2 ділиться націло на b 7. 8. Д-ня. За умовою а=bq, qєZ тоді 9.
Д-ня випливає з властивостей 6 і 7. Оскільки в кільці цілих чисел ділення націло виконується не завжди, виникає бажання так узагальнити поняття ділення, щоб воно виконувалося для всіх цілих чисел. Нехай аєZ, bєN говорять, що а ділиться з остачею на b, якщо існує представлення а=bq+r, причому qєZ, rєZ, 0≤r<b а – ділене, b – дільник, q – неповна частка, r – остача. Очевидно, що Теорема (про ділення з остачею): Для довільного цілого а та натурального b ділення з остачею існує і однозначне. Д-ня. 1. Існування. Розглянемо 3 можливі випадки в залежності від а. І) а=0 тоді візьмемо bєN, q=r=0, 0=b*0+0 ІІ) а>0 Якщо 0<а<b, то а=b*0+а, q=0, а=r 0≤r<b. При а≥b розглянемо ряд чисел b, 2b, 3b, …, kb, … Очевидно, що можна вказати таке число kєN, що kb≤а, (k+1)>а, позначимо це k через q тоді qb≤а≤(q+1)віднімемо від всіх частин рівності qb будемо мати 0≤а-qb<b позначимо а-qb=r, тоді а=qb+r і 0≤r<b ІІІ) а<0 тоді -а>0 і за попереднім пунктом –а=bq´+r´, 0≤r´<b помножимо останню рівність на -1. а=-bq´-r´, а=b(-q´)+(-r) Якщо r´=0, то q=-q´, r=-r´=0 і а=bq+0 Якщо r´≠0, то у правій частині рівності (*) додамо та віднімемо b. а=b(-q´)+b-b-r´= =b(-q´-1)+(b-r´) покладемо q=-q´-1 та r=b-r´ тоді остання рівність матиме вигляд а=bq+r. Оскільки 0≤r´<b /*-1 0≥-r´>-b /+b b≥b-r´>0 b≥r>0. Оскільки r´≠0, то 0<r<b або 0≤r<b 2.Єдиність. Припустимо, що існує два представлення а=bq1+r1 0≤r1<b а=bq2+r2 0≤r2<b Віднявши рівності маємо 0=b(q1-q2)+(r1-r2), b(q1-q2)=r2-r1 Оскільки ліва частина рівності ділиться на b, то і права ділиться на b. Враховуючи, що r1<b та r2<b тому (r2-r1)<b, отже r2-r1=0, звідки r1=r2, тоді b(q1-q2)=0, а оскільки b≠0 то q1-q2=0, q1=q2 і представлення єдине. Теорему доведено.
|