Экономический смысл производной

Предельная производительность труда. Если - количество производственной продукции за время , то период количество производственной продукции составляет , тогда , есть производительность труда в момент .

Предельные затраты (издержки) производства. Если - функция затрат производства, где - количество выпускаемой продукции, тогда - прирост продукции

- приращение затрат производство, тогда производная выражает предельные затраты производства при неограниченном уменьшении прироста объема производства

Аналогично можно определить.

Предельный спрос: ,

где - функция спроса; - цена на товар

Предельное предложение: ,

где - функция предложения.

При увеличении цены на единицу производная оценивает увеличение предложения товара от производителей, а производная от функции спроса позволяет оценить уменьшение спроса со стороны покупателя.

Рис.53

Данные показывают, что с увеличением цены спрос на продукцию падает; с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, а также уменьшает средний доход; это характерно для монопольного рынка, когда одна или несколько фирм контролируют цены на определенную продукцию.

В условиях свободного конкурентного рынка, когда участников рынка достаточно много, цены не контролируются, рыночная цена , например, суммарный доход равен . В этом случае средний и предельный доходы равны , .

Рис.54

В экономике часто предельные величины называют маржинальными и обозначают

- предельные затраты,

- предельное предложение,

- предельный спрос и прочее.

В отличие от предельных при записи средних (average) величин используют обозначения

- среднее предложение,

- средний спрос,

- средний доход

Пример 109. Найти предельный и средний доход на единицу продукции , если функция спроса равна .

Решение. Суммарный доход от реализованной продукции в количестве равен или . Тогда, средний доход на единицу продукции ; предельный доход (дополнительный доход от реализации единицы дополнительной продукции) равен

Задача 110. Известна функция затрат производства

(у.е.).

Найти предельные затраты, если объем выпускаемой продукции равен 20 ед.

Решение. Предельные затраты производства равны производной: ; при заданном объеме ед., найдем (у.е.).

Предельные затраты на производство дополнительной единицы продукции при заданном объеме выпускаемой продукции 20 ед. будут равны 18 у.е.

Задача 111. Количество произведенной продукции за рабочее время , , задано функцией: .

Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через два часа после начала работы и за час до ее окончания.

Решение. Производительность труда в момент равна производной . Скорость изменения производительности равна второй производной . Темп изменения производительности равен

.

Найдем их значения в заданный момент времени при и

; ;

; ; .

Таким образом, к концу рабочего дня производительность труда снижается, и снижается скорость и темп ее изменения .