Дифференциал

Пусть функция дифференцируема в точке х_о, т.е.

Dу = ADx + a(Dx)Dx, (1)

где .

Линейную по Dх часть приращения функции в точке х_о обозначим dy.

Определение 71. Дифференциалом функции y = f(x) в точке х_о называется главная линейная относительно , часть приращения функции в этой точке: dy = A . Приращение функции можно записать так:

Dу = dy + o(Dx)

Примечание. Если А = 0, то А = 0 и А не является главной частью приращения, т.к. -,вообще говоря, отлично от нуля.

Учитывая теорему о том, что А = f¢(x₀) и dy = f¢(x₀)

, получим dy = f¢(x₀)dx.

Пример 80. Функция y = x² - площадь квадрата; Найдем приращение функции и ее главную линейную часть дифференциал.

Dy = (x + )² - x² = 2x + ()² - главная, линейная по часть

dy = 2x .

Геометрический смысл дифференциала - приращение ординаты касательной к графику этой функции в точке х₀: dy = f’(x₀)dx (рис.21):

y

Df y=f(x)

df (x )

0 x₀ x₀+Dx x

Рис. 33