Основные свойства сходящихся последовательностей

Лемма 1. Если 1) - б.м.п.

2) = с – const

Тогда 1)2) с = 0.

Доказательство. (от противного). Пусть , тогда можно положить, что . По определению б.м.п.

- б.м.п. при .

С учетом взятого значения получаем противоречие.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Пусть , , тогда х_n = a + a_n

x_n = b + b_n, где a_n, b_n - б.м п. Вычитая из первого соотношения второе, найдем a_n - b_n = b – a = 0 т.к a_n - b_n - б.м.п. имеющая одно и то же значение b - a, то по лемме b - a = 0 Û b = a.

Теорема 4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {х_n} - сходящаяся последовательность

. Пусть e - произвольное положительное число и N

- номер начинается с которого выполняется х_n < e. Тогда

|x_n| = |(x_n - a) + a| £ | x_n| + |a| < e + |a|. Пусть A = max{x₁, x₂ ,,, e+|a|}. Очевидно "n, что означает ограниченность последовательности.

Замечание. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

Пример 24. Последовательность{-1;1;-1;1...(-1)ⁿ...} – ограниченна, но не сходится.