Арифметические операции с последовательностями

Имеющими предел.

Лемма 1. , где 0.

Доказательство. Пусть {x_n} – последовательность и а - число.

Предположим a_n = x_n - a, тогда условие

Таким образом установлена связь между пределами сходящихся последовательностей и бесконечно малыми последовательностями.

Теорема 5. Пусть {x_n},{y_n} последовательности, то

1) Если {x_n} = c n =1,2,..., то

2) Если , .

Тогда 1),2) Þ а) =

b)

c) где

Доказательство.

1) Так как последовательность x_n - c = c - c = 0 бесконечно

малая, то в силу леммы

2). a) x_n = a + a_n ;

y_n= b+ b_n .

Из x_n + y_n = a + b + a_n + b_n т.к. следует

+

b).Из x_ny_n = ab+ab_n+ ba_n+a_nb_n с учетом того, что

то

c).Докажем, что -б.м.последовательность

Так как {a_n} и {b_n}-б.м. то б.м.

По условию y_n®b при , где и y_n¹0:

"nÎ N. По этому условию б.м. так

как произведение б.м. на ограниченную последовательность. Таким образом при значит или = .