Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Монотонные последовательности
Определение 35. Последовательность {xn} называется невозрастающей, если . Пример 25. - невозрастающая последовательность.
Определение 36. Последовательность {xn} называется неубывающей, если . Пример 26. неубывающая последовательность.
Определение 37. Последовательность {xn} называется возрастающей, если . Пример 27. {xn} = { 1, 2, 3, 4,... } - возрастающая последовательность.
Определение 38. Последовательность {xn} называется убывающей, если . Пример 28. {xn} = .
Невозрастающие, неубывающие, возрастающие, убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. Замечание. Из определения возрастающей последовательности следует, что для установления возрастания последовательности с положительными членами достаточно установить неравенство .
Замечание. Из существования предела суммы, разности и предела произведения частного не следует существование предела каждой из последовательностей. Легко видеть
Пример 29. {xn} = (-1)n, {yn} = (-1)n+1. Тогда = 0, а . Хотя ни xn, ни уn предела не имеют. Пример 29. {xn} = n, {yn} = n, =0, . Хотя xn, уn пределов не имеют.
Теорема 8. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности). Пусть 1) {an} - монотонно-возрастающая (убывающая), 2) an - ограниченна. Тогда 1),2)Þ xn=а. Доказательство. {an} - ограничена Þ то имеет точную верхнюю грань. Пусть sup{an} = a. Покажем, что xn = а. По определению точной верхней грани для любого e>0 на множестве {an} найдется число аn такое, что аn> a-e. "n>N: |an – a | = а - an < e, а это значит xn = а. ч.т.д. Пример 30. Показать, что монотонно убывающая последовательность.. Решение. .
|