Тема: Предел функции

1. Контрольные вопросы:

1. Что называется пределом функции в точке?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Что называется пределом функции на бесконечности?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Сформулируйте основные теоремы о пределах:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Какая величина называется бесконечно малой? Приведите пример:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Какая величина называется бесконечно большой? Приведите пример:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Запишите первый и второй замечательные пределы.

__________________________________________________________________

2. Практические задания по теме:

Задание 1. Доказать, что число А является пределом функции:

Возьмём любое e>0, составим неравенство |2x-1-5|<e, решим полученное неравенство |2х-6|<e «-e<2х-6<e «6-e<2х<6+e «

3-e/2<х<3+e/2 «|х-3|<e/2 «d=e/2

Итак, для любого e>0, нашли d=e/2, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|<d, выполняется неравенство |2x-1-5|<e Þ .

1.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Найти предел функции:

При выполнении данного задания могут встретиться следующие неопределённости [ ], (),(1^µ). Чтобы устранить неопределённость 1-ого вида разделите числитель и знаменатель дроби на степень с наивысшим показателем, найти полученный предел см.(предел последовательности).

Чтобы устранить неопределённость 2-ого вида, можно разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

Рассмотрим ряд примеров:

Найти предел:

Замечательные пределы:

1-ый замечательный предел:

Найти пределы:1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение: 1) Сделаем замену y=ax; тогда y®0 при х®0 и =

2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х и воспользуемся предыдущим пределом:

= ;

3) Воспользуемся тригонометрическим тождеством: 1-cosx=2sin^{2 ,} тогда получим

=

4) Сделаем замену y=arcsinx, тогда получим x=siny. Из того, что х®0, следует у®0, поэтому = .

2-ой замечательный предел: или

Найти пределы:1) ; 2)

Решение:

1) В данном случае имеем неопределённость вида 1^µ. Для её раскрытия воспользуемся 2-м замечательным пределом, сделав замену переменной .Тогда у®µ при х®µ, выполним подстановку =

2) Для нахождения данного предела можно воспользоваться алгоритмом: