Перемещение произвольной точки пластины

Выберем произвольную точку с координатами , где – координаты проекции точки на срединную поверхность, а – расстояние до этой поверхности. Введем обозначения: – проекции вектора перемещений точки на оси , а w – на ось z. Поэтому из гипотезы Кирхгофа получим выражения для проекций перемещения произвольной точки пластины на оси :

. (4.26)

Таким образом, удалось выразить перемещения любой точки пластины только через перемещение точки срединной поверхности. Однако это допущение имеет недостаток: формально оно приводит к выводу об отсутствии деформаций сдвига в поперечном направлении. Из закона Гука следует, что напряжения, соответствующие этим деформациям, равны нулю. Но касательные напряжения, как правило, ненулевые. Полученное противоречие означает: для вычисления касательных напряжений в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности, нельзя применять соотношения упругости. При необходимости эти усилия так же, как и , следует определять из уравнений статического равновесия бесконечно малого элемента пластины.

Для относительных деформаций в плоскости пластины из формул Коши с учетом (4.26) имеем:

(4.27)

Величина относительной деформации остается неопределенной. Напомним, что в ранее принятых допущениях содержится условие . Поэтому неопределенность не влияет на потенциальную энергию пластинки, так как = 0.