Мысал-3

Системасының жалпы шешімін тап. Сипаттаушы теңдеуді құрып, түбірлерін табамыз: немесе осыдан . Меншікті векторды табу үшін төмендегі системаны құрамыз.

а) болғанда (тәуелсіз теңдеулер системасы)

осыдан , егер десек, онда - меншікті векторын табамыз.

б) болғанда .

Егер болса, онда - меншікті векторын табамыз.

в) болғанда

Егер болса, онда болар еді.

сонда системаның фундаментальді шешімдері

болады.

Ал жалпы шешімі координаттық формада төмендегідей болады:

Мысал-4.

Системасының жалпы шешімін тап.

Сипаттаушы теңдеуді шешеміз:

а) болғанда

одан , егер десек, онда

- меншікті векторын аламыз. Осыдан

б) түбірі екі еселі түбір. Алдымен осы түбірге сәйкес келетін сызықты тәуелсіз вектордың санын анықтаймыз ге сәйкес келетін

- матрицасының рангісі r = 2, n =3, S=n -2=1, K-S= 2-1=1 мұнда К, түбірінің еселік саны.

Жоғарыда тұжырымдалған теорема бойынша - ге сәйкес келетін шешімді:

немесе координаттық формада.

іздейміз. Осы функциялардың туындыларын тауып, берілген системаға апарып қойып, ұқсас мүшелердің коэффиценттерін өзара теңестіру арқылы төмендегі системаны аламыз:

b+d+g=0 b=a+c+f

-2b-d-g=0 d=-2a-c-f

2b+d+g=0 g=2a+c+f

Осы системаның жалпы шешімін табамыз. Сол жақтағы екі теңдеуден b= 0, d=-g мәндеріне ие боламыз. Осы мәндерді басқа теңдеулерге қойып, мына теңдеулерді аламыз:

0=a+c+f, d=-2a-c-f

(қалған теңдеулер осы екі теңдеудің салдары болады).

Соңғы екі теңдеуден a=-d, f=d-c. Сонымен барлық белгісіздер d мен c арқылы өрнектелінетін болады. Ол үшін деп алып, мыналарға ие боламыз:

Сонымен, осы мәндерді теңдікке апарып қоямыз. Сонда:

Жалпы шешім координаттық формада былай жазылады:

2⁰. Айнымалыны шығарып тастау әдісі.

Бұл әдіс, жалпы алғанда n ретті қалыпты дифференциалдық теңдеулер системасын шешуді n ретті диференциялдық теңдеуге келтіру арқылы шешуге мүмкіндік береді. Әдістің мәні функцияларын системаның теңдеулерінен бірінен соң бірін шығарып тастауға негізделген. Сондықтанда айнымалыны шығарып тастау әдісі деп аталған.

Қалыпты системаны қарастырайық:

Бірінші теңдеуді n ретті дифференциалдау арқылы төмендегі системаны алуға болады:

осы системадан - функцияларын шығарып тастап, нәтижесінде

теңдеуін аламыз.

Соңғы теңдеуді шешу арқылы функциясын анықтаймыз. Жоғарыдағы тәсілмен берілген қалыпты системадан - ге қатысты n ретті дифференциалдық теңдеулерді де алып басқа белгісіз функцияларды табамыз. Нәтижесінде берілген қалыпты системаның шешімдері төмендегі түрде жазылады:

Біздің қарастырған сызықтық системамыз қалыпты сызықтық дифференциалдық теңдеулер системалары болғандықтан, айнымалыны шығарып тастау әдісін сызықты системаны шешуге де әбден қолдануға болады.

Айнымалыны шығарып тастау әдісімен дифференциалдық теңдеулерді шеш.