Бірінші ретті дербес туындылы сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Егер дифференциалдық теңдеуге кіретін функция бірнеше айнымалыдан тәуелді болса, дифференциалдық теңдеу дербес туындылы деп аталады.

Айталық, белгісіз функция x n тәуелсіз айнымалылар дерден тәуелді болсын. Онда бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былайша жазылады:

Теңдеудегі функциясының анықталу облысы болсын.

Қандай да бір облысында анықталған және осы облыста өзінің бірінші ретті барлық дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болатын функциясы мына шарттарды қанағаттандырса,

онда оны (1) теңдеудің облысындағы шешімі деп атайды.

Егер (1) теңдеудегі F функциясы ізделінетін x функциясының дербес туындыларынан сызықтық тәуелділікте болса, онда (1) теңдеу сызықтық деп аталады. Сызықтық теңдеу мына түрде болады:

(2)

Бұл теңдеуді квазисызықты теңдеу деп те атайды. Ол дербес туындылар бойынша сызықты болғанымен, белгісіз функция х бойынша сызықты емес.

Егер (2) теңдеудің оң жағында тұрған функция нөлге тепе-тең болып, ал функциялары х тан тәуелсіз болса, онда алынатын теңдеу

сызықты біртекті деп аталады.

(2) немесе (3)теңдеудің шешімі (1) теңдеудің шешімі сияқты анықталады. Шешім кеңістігінде бет береді. Ол бетті интегралдық бет деп атайды. (3) теңдеудің көрініп тұрған шешімі бар. Біз одан басқа шешімдерді іздейміз.

Дербес туындылы сызықты біртекті (3) теңдеудің интегралдау жолын қарастырайық. Ондағы функцияларын қандайда бір D облысында дербес туындыларымен бірге үзіліссіз және бәрі бірдей нөлге айналмайды. (3) теңдеуге мынадай симметриялы жүйені сәйкес қояйық:

(4) жүйенің интегралдық қисықтары (3) теңдеудің сипаттауыштары деп аталады. Теңдеудің коэффициенттері функцияларына қойылған шарттар орындалғанда, жүйе үшін D облысында шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теореманың шарттары орындалады. Сондықтан D облысының әрбір нүктесі арқылы тек бір ғана сипаттауыш өтеді. (4) жүйенің тәуелсіз интегралдарының ең жоғарғы саны ге тең, себебі, ол ретті қалыпты жүйеге эквивалент.

Мысал. Мына теңдеудің

жалпы шешімін табу керек.

Шешуі: Сәйкес симметриялық жүйе қарастырамыз:

Екі бөлшектің алымы мен бөлімдерін өзара сәйкес қосып, алынған бөлшекті екінші бөлшекке теңестірсек,

Теңдеуі алынады. Бұдан

Бірінші интегралы алынады. Сонда берілген теңдеудің жалпы шешімі болып

Функциясы табылады.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1 Дербес туындылы бірінші ретті сызықтық біртектес дифференциалдық теңдеулер

2 Бірінші интегралдар

3 Дербес туындылы квазисызықтық теңдеулер

Қолданылған әдебиеттер:

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985

2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002