Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Геометрические характеристики плоских сечений





Из вышеизложенного следует, что нормальные и касательные напряжения, деформации зависят от геометрических характеристик сечений деформируемых деталей.

Площадь сечения.

Зависит от формы:

круг- s= p R2= pD2/4;

кольцо- s= p(R2- r2)= pD2(1- k2), k= d/D;

прямоугольник s= bh;

треугольник s= 0,5bh,

где D, R,d, r, h - соответственно, наружные диаметр и радиус, внутренние диаметр и радиус, сторона и высота.

 

Статические моменты сечения.

Статический момент относительно оси z

Sz= ydA.

Статический момент относительно оси y

Sy= zdA.

При параллельном переносе осей будет y1= y- b, а z1= z- a.

Тогда

Sz1= y1 dA= (y- b)dA= Sz- bA;

Sy1= z1 dA= (z- a)dA= Sy- aA. (2-113)

Здесь А - площадь сечения.

Среди семейства параллельных осей z, y можно найти оси, относительно которых статический момент Sz1 или Sy1 будет равен нулю. Такую ось называют центральной, а точку их пересечения - центром тяжести сечения.

Если начало координат будет в точке C- центре тяжести, то ее координаты можно определить следующим образом

zC= a= A-1 z dA= Sy /A; yC= b= A-1 y dA= Sz /A. (2-114)

 

Пример 2.3:

1.Прямоугольник. Найти на каком расстоянии от основания b находится центр тяжести.

dA= bdz

Sy= z dA= zbdz= bz2/2 ½ = bh2/2.

zC= Sy/A= (bh2/2)/(bh)= h/2.

Выполнив такие же операции относительно оси y, получим, что абсцисса центра тяжести равна

yC= b/2.

2. Треугольник неравнобочный (Рис. 2.23). Основание b лежит на оси ОХ1. На каком расстоянии от основания находится центр тяжести.

 

Рис.2.23.

Определение центра тяжести

треугольника.

 

Sх1= y1 dA.

dA= cdy1.

Из подобия треугольников находим c=b(h- y1)/h, где h - высота.

Таким образом,

Sx1= y1 dA= y1[ b(h-y1)/h]dy1 = bh-1 (h-y1)y1dy1= bh2/6. (2-115)

Отсюда

yС= Sx1/A= (bh2/6)/(bh/2)= h/3. (2-116)

Моменты инерции сечения.

Из предыдущего изложения следует, что существуют осевые, полярные моменты инерции. Кроме того, рассматриваются центробежные моменты инерции.

Осевой момент инерции относительно оси z

Jz= y2 dA.

Осевой момент инерции относительно оси y

Jy= z2 dA.

Полярный момент инерции относительно полюса O, размещенного в начале координат

Jр= r2 dA= (z2+ y2) dA= Jy+ Jz. (2-117)

Центробежный момент инерции относительно осей z, y

Jzy= Jyz = yz dA. (2-118)

Центробежный момент инерции может иметь разные знаки (+), (-).

Значения моментов инерции зависят от положения сечения в осях координат.

Доказано, что при параллельном перемещении осей координат z1Oy1 в положение zOy моменты инерции сечений будут

Jz= Jz1+ 2aSz1+ a2A; Jy= Jy1+ 2bSy1+ b2A; Jzy= Jz1y1+ aSy1+ bSz1+ abA.

Если оси O1z1 и O1y1 являются центральными, то статические моменты равны нулю, последние соотношения примут вид

Jz= Jz1+ a2A; Jy= Jy1+ b2A; Jzy= Jz1y1+ abA. (2-119)

Для полярного момента инерции при параллельном переносе осей из центра тяжести в произвольную точку

Jp= Jz+ Jy= Jp1+ (a2+ b2)A. (2-120)

Момент инерции сложного сечения находят как сумму моментов инерции составных частей этого сечения.

В случае поворота сечения на угол a получим новые оси

u= z cosa + y sina; u= y cosa- z sina.

Тогда

Ju= u2 dA.= Jzcos2a - Jzy sin (2a) + Jysin2a;

Ju= u2 dA.= Jzsin2a + Jzy sin (2a) + Jycos2a;

Juu= Jzy cos(2a)+ 0,5(Jz- Jy)sin (2a). (2-121)

Из первых 2-х выражений следует Ju+ Ju= Jz+ Jy= const.

Из d Ju / da получим

d Ju / da= 2Jz cosa sina+ 2Jzycos(2a)- 2Jysina cosa =0

tg(2a)= 2Jzy/(Jy- Jz). (2-122)

Следовательно, если a= a0, т.е. при отсутствии поворота Jzy= 0.

Оси, относительно которых Jzy= 0, а осевые моменты имеют экстремальные значения, называют главными осями. Оси симметрии всегда главные. Если же главные оси проходят через центр тяжести, то их называют главными центральными осями, а соответствующие им осевые моменты инерции называются главными центральными моментами инерции.

Jmax/min= 0,5(Jy+ Jz) ± [0,25(Jy- Jz)2+ J2yz]1/2. (2-123)

Пример 2.4:

3. Определить относительно центральной оси Oz момент инерции прямоугольника высотой h, шириной основания b (рис.2.24,а).

Jz= y2 dA.= b y2dy= bh3/12. (2-124)

4. Определить момент инерции прямоугольника относительно оси О1z1, проходящей через основание (Здесь dA= bdy1).

Jz1= b y21dy1 = bh3/3. (2-125)

5. Определить центробежный момент инерции сечения прямоугольника относительно осей О1y1O1z1 (рис.2.24,а)

а) б)

Рис. 2.24 Определение моментов инерции сечений.


 

Здесь смещения относительно осей YOZ будут, соответственно, –b/2; -h/2. Тогда

Jy1z1= Jyz+ (b/2(h/2)bh= 0+ b2h2/4= b2h2/4. (2-126)

 

6. Определить момент инерции круга диаметром d относительно оси Оz

Сначала определим полярный момент инерции Здесь dA= 2prdr

Jp= r2 dA= 2p r3dr= pd4/32= pr4/2. (2-127)

Так как Jp= Jz + Jy, то

Jy= pd4/64= pr4/4. (2-128)

 

7. Определить центральные и главные моменты инерции уголка равнобокого при a= 4 мм, b= 20 мм, расстояние от основания до центральной оси z составляет c= 6,4 мм (рис.2.24,б).

Так как уголок равнобокий, то Jz= Jy. Условно далее разделим сечение на 2 прямоугольника с центрами тяжести О1 и О2.

Центральные моменты инерции уголка

Jz= Jz(1)+ Jz(2); Jzy= Jzy(1)+ Jzy(2).

Учитывая Jz= Jy и выражение (2-122), получим, что tg(2a)= ¥.

Это означает, что угол наклона главных осей составляет a= 45°

При этом главные центральные моменты инерции составляют

Ju= Jzcos245°- Jzysin90°+ Jysin245°= Jz- Jzy.

Схема вычислений главных моментов инерции приведена в таблице 2.2.

При этом центробежные моменты инерции частей сечения относительно собственных центральных осей равны нулю.

По формуле (2-121) находим главные центральные моменты инерции (a0= 45°):

Ju= 5028,8- (-2844)=7872,8 мм4.

Ju= Jz+ Jzy= 5028+(-2844)=2184 мм4.

Таблица 2.2

Номе-ра Пло-ща-ди Координаты центров тяжести Моменты инерции площадей частей, мм4
час-тей час-тей, частей в осях коорди-нат yOz1, мм Jzi= bih3i/12+ yi2A Jziyi= ziyiAi
  Мм2 yCi zCi bh3/12 y2iA Jz Jzy
    5,6 -4,4 4*163/12=1365,3 5,62*64= 2007 3372,3 64(-4,4)5,6=-=1577
    -4,4 3,6 20*43/12= 106,7 4,42*80= 1548,8 1656,5 80*3,6(-4,4)=-=1267
å   - - - - 5028,8 -2844

 







Date: 2015-11-13; view: 833; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.017 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию