Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Сдвиг и кручение





Если на стержень действуют силы, как это показано на рис. 2.16,а, то при малом расстоянии между силами F заштрихованный участок наклонится. Поскольку на стержень действуют только поперечные силы, то в сечении между F-F разовьются только касательные напряжения t, уравновешивающие указанные воздействия. Это изображено на рис. 2.16,в.

 

а) б) в)

Рис. 2.16 Схема деформации и внутренние силы (напряжения)

при сдвиге стержня.

 

Принимая распределение касательных напряжений t равномерным по сечению площадью f, их величину определяют из соотношения

t = F/f. (2-82)

Величина этих напряжений должна быть меньше допускаемых значений, т.е. t £ [t].

Если на участке между силами F выделить прямоугольник и рассмотреть его после отмеченного изгиба, то на гранях образованного параллелограмма возникнут касательные напряжения, как показано на рис. 2.17.

 
 


Рис. 2.17

Напряжения и деформации элемента при сдвиге

 

 

Такое напряженное состояние называют чистым сдвигом. Величина а называется абсолютным сдвигом. Угол g, на который изменяются прямые углы, называют относительным сдвигом

tgg @ g = a/h. (2-83)

Экспериментально установлено, что

a= Fh/(Gf), (2-84)

где G - является коэффициентом пропорциональности и называется модулем сдвига (для стали G= 8*104 МПа).

Учитывая (2-82) и (2-83), из (2-84) получим закон Гука при сдвиге

t =Gg. (2-85)

Между модулем продольной упругости и модулем сдвига имеется взаимосвязь

G= 0,5E/(1+c)@ 0,4 E.

Чистый сдвиг реализовать весьма сложно, т.к. практически всегда будут и другие напряжения.

Достаточно часто сдвиг проявляется при кручении, это такой вид деформации, когда в поперечных сечениях действует только крутящий момент, а остальные силы отсутствуют.

Если рассматривать кручение цилиндрического стержня (рис. 2.18), то сечения, удаленные от точки закрепления на расстояние х будут поворачиваться друг относительно друга на некоторый угол j, измеряемый от оси вращения. Тогда на расстоянии x+ dx угол поворота будет j+ dj.

Полагая образующие прямыми, получим

È È È

tgg= (CC1- BB1)/ BC= [r (j +dj)- rj]/dx= rdj /dx= r q.

 

Рис.2.18 Скручивание стержня.

 

Отношение dj/dx называется относительным углом закручива-ния и обозначается буквой q. Тогда

tgg» g= rq. (2-86)

Из закона Гука (2-85) следует

t= Gg = Gq r. (2-87)

Таким образом, в любой точке сечения стержня касательные напряжения равны tr = Gq r, где r - радиус точки относительно оси вращения. Следовательно, на поверхности стержня касательные напряжения будут максимальными.

Выделим элементарную площадку размерами df= rdjdr в сечении стержня. Момент касательных сил на этой площадке относительно оси вращения dMкр= tr r df.

Тогда по всему сечению получим

Мкр= tr r df.

Учитывая (2-87), запишем

Мкр= Gq r2 df= Gq r2 df.

Интеграл r2df = Jp называется полярным моментом инерции сечения. Поэтому

Мкр= Gq Jp. (2-88)

Поскольку df= rdjdr, тодля круга

Jp = r3djdr= 2p r3dr= 2pr4/4= p r4/2= pd4/32. (2-89)

Для кольца будет

Jp = 2p r3dr= p r4 (1- r0 4/r4) /2= pd4 (1- d0 4/d4) /32,. (2-90)

где r0, d0- радиус и диаметр отверстия в кольце.

Для прямоугольника, расположенного симметрично относительно центра тяжести и имеющего df= b dy, где b – ширина по оси х; y -координата по высоте, равной h, получим

Jp = r2df= y2df+ х2df = b y2dy + h x2dy = by3/3 | +

+ hx3/3 | = bh3/12+ hb3/12 = hb(h2+ b2)/12. (2-91)

Из (2-88) определим относительный угол закручивания стержня любой формы

q= Мкр/ (GJp). (2-92)

Откуда закручивание стержня длиной l будет

jl = Мкрdx/ (GJp)= Мкрl/ (GJp). (2-93)

Если по длине стержня переменного сечения действуют разные моменты кручения, суммарный угол закручивания можно определить из соотношения

jl = Мкрi li/ (Gi Jpi). (2-94)

Подставив в (2-87) q= Мкр/ (GJp), определим величину касательных напряжений в любой точке сечения, расположенной на радиусе r

t= Gr Мкр/ (GJp) = Mкрr /Jp, (2-95)

а для точек, находящихся на поверхности стержня это будет максимальное значение касательного напряжения

tmax = Mкр /Wp, (2-96)

где Wp= Jp/r - называется полярным моментом сопротивления сечения.

В работающих конструкциях должны выполняться условия

tmax £ [t]; j£ [j], (2-97)

где значения в квадратных скобках называются допускаемыми.

Полагая, что при закручивании стержня в пределах упругости изменение потенциальной энергий от деформации будет dEp= 0,5Mкрdj, для элементарного участка длиной dx запишем dj= Мкр(GJp)-1dx, тогда


dEp= 0,5M2кр(GJp)-1dx. (2-98)

В этом случае потенциальная энергия стержня длиной l составит

Ep= 0,5M2кр(GJp)-1dx= 0,5 M2кр(GJp)-1l. (2-99)

Это выражение получено в предположении постоянства по длине стержня G, Jp.

Подставим в (2-98) Мкр= tмах Wp и разделим на dV= fdx

wn = 0,5(tмах Wp)2 /(fGJp)=0,5t 2махW 2p /(fGJp)=

= 0,5t 2махJp /(fGy2max)=0,5t 2мах kfJ /G, (2-100)

где kfJ = Jp/(fy2max); y2max - максимальная ордината сечения.

Величина wп представляет собой потенциальную энергию, накопленную в элементарном объеме скручиваемого стержня.

Для круга при kfJ = Jp/(fy2max)= 0,5pr4/(pr2r2)= 0,5 он

аравна

wп =0,25t2махG-1. (2-101)

Изгиб.

Чистый изгиб

Рассмотрим балку, один конец которой закреплен в стенке (это называется заделкой), а на другой, свободный, действует в плоскости чертежа только изгибающий момент (рис. 2.19). От него балка изгибается.

Из теории упругости известно, что уравнение изогнутой оси записывается в форме

y= x2 Mu/(2EJz). (2-102)

Это парабола.

Продифференцируем это уравнение по х

dy/dx= x Mu/(EJz); d2y/dx2= Mu/(EJz). (2-103)

 

Рис.2.19 Чистый изгиб балки

 

 

 

 

Рис. 2.20 Напряжения при чистом

изгибе

 

 

Заметим, что dy/dx= tga» a, где a - угол поворота оси балки; Jz= y2df; df- элементарнаяплощадь сечения стержня. Е- модуль проольной упругости.

Сомножитель Jz называется моментом инерции поперечного сечения å относительно оси z.

Из (2-103) следует, что при действии только изгибающего момента Ми d2y/dx2=const.

Поскольку в математике величина d2y/dx2 связана с кривизной в точке какой-либо изогнутой кривой соотношением d2y/dx2» 1/R, где R- радиус кривизны в точке кривой, то можно записать

d2y/dx2» 1/R= Mu/(EJz). (2-104)

Если мысленно отделить балку от заделки и заменить заделку противонаправленным изгибающим моментом Ми (рис. 2.20), то выше линии, проходящей по центрам тяжести сечений балки- нейтральной оси, будем иметь растягивающие напряжения (+s), а ниже- сжимающие - (-s).

При чистом изгибе в сечениях действуют только нормальные (перпендикулярные к поперечному сечению) напряжения.

 

 

 

Рис. 2.21 Изгиб от поперечной силы

 

 

Чаще встечаются более сложные случаи, когда действуют не только изгибающие моменты, но и поперечные силы (рис. 2.21)

Отделим участок длиной х и заменим левую часть на действие соответствующей системы сил

F+ Q= 0; F(l-x)- Mux= 0. (2-105)

Здесь Q - перерезывающая сила; Mux - изгибающий момент в конкретном сечении балки, расположенном на расстоянии х от начала координат. Видно, что перерезывающая сила постоянна по всей длине балки и равна Q= -F, а изгибающий момент меняется по длине Mux= = F(l-x).

Следовательно, в сечениях балки кроме нормальных напряжений s, действуют и касательные напряжения t.

Из-за сложности фактической картины действия различных напряжений приняты основные допущения:

1. В балке существует нейтральная ось такая, что каждый элемент балки на ней только изгибается, но не удлиняется и не укорачивается.


2. Плоские сечения, перпендикулярные к нейтральной оси в начальном недеформированном состоянии, после изгиба остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой нейтральной оси.

Эти допущения позволяют вывести закон распределения нормальных напряжений в любом сечении балки.

Рассмотрим участок изгибаемой балки (рис.2.22) выше нейтральной оси. Здесь S - длина участка до деформации; S+ DS - после деформации.

 

 

Рис. 2.22

Вывод закона распределения

нормальных напряжений

 

 

Относительное удлинение участка будет

e=DS/S. (2-106)

Если рассматриваемое волокно находится на расстоянии yв от оси х, то из подобия по углам треугольников следует

DS/yв = S/R или DS/ S= yв /R.

Тогда с учетом (2-106) нормальные напряжения в сечении будут

sх= eE= - Eyв/R. (2-107)

Здесь знак зависит от направления отсчета.

В этом случае изгибающий момент в сечении на расстоянии х от точки отсчета равен

Mux= (-yв)sx df= ER-1 yв2df= ER-1Jz. (2-108)

Откуда следует R-1= Mux/(EJz), а учитывая R-1» d2y/dx2, получим

d2y/dx2 = Mux/(EJz). (2-109)

Эта формула подобна (2-104), однако здесь изгибающий момент зависит от х. Поэтому изогнутая ось в общем случае не является параболой.

Подставив соотношение для R-1 в (2-107), получим

sх= - Eyв Mux/(EJz)= - yв Mux/Jz (2-110)

или максимальные нормальные напряжения при изгибе

½ sх max ½ = Mux/Wz, (2-111)

где Wz= Jz / yв - геометрический момент сопротивления поперечного сечения относительно оси z.

По аналогии с предыдущими случаями потенциальную энергию, накопленную при изгибе можно опредеделить выражением

Ep= [M2ux/(2EJz)]dx. (2-112)







Date: 2015-11-13; view: 687; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.037 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию