Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнения движения сплошной cреды
В теоретической механике в основном имеют дело с сосредоточенными или концентрированными силами, т.е. действующими в точке. В механике сплошной среды рассматриваются распределенные силы, т.е. силы, действующие в каждой части объема V или на каждом элементе поверхности å сплошной среды. Причем при стремлении бесконечно малого элемента объема или поверхности к нулю главный вектор действующих на него сил также стремится к нулю. Силы, распределенные по объему V, называются объемными или массовыми. Пусть F главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы Dm. Тогда плотность массовой силы в данной точке Á = lim F / m. (2-16) Dm®0 Для малой частицы F» Á Dm. Иногда рассматривают силу Ф, приходящуюся не на единицу массы, а на единицу объема Ф = lim (F / DV), DV ®0 т.е. Ф = r Á. Размерностью произведений Ф dV и Á dm является сила; размерностью Á является ускорение, а Ф - ускорение, умноженное на размерность плотности r сплошной среды. Массовыми силами являются: сила тяжести (вес); гравитационные силы;силы инерции; электромагнитные силы. В механике абсолютно твердого тела действие любой системы сил эквивалентно действию ее главного вектора и главного момента. В механике деформируемых сред существенен характер распределения сил по телу. Если, например, металлический шток продольно перемещается в среде, плотно его обжимающей по цилиндрической поверхности, то по этой поверхности на шток действуют поверхностные силы. Здесь p = lim (DP/ Df) - плотность распределения внешних поверхностных сил; Df®0 DP - изменение суммарной силы, действующей на цилиндрическую поверхность штока; Df - ограниченный участок поверхности штока. В общем случае внешние поверхностные силы могут действовать не по всей длине тела, а во множестве мест, распределенных случайным образом по длине. Так происходит при бурении нефтяных и газовых скважин, где труба, имеющая меньший наружный диаметр по сравнению с внутренним диаметром поверхности затрубного пространства, под действием разного рода нагрузок изгибается и трется о стенки скважины. Выделим в сплошной среде тела некоторый произвольный объем V и разобьем его сечением S на две части V1 и V2. (рис. 2.2) Если рассматривать движение одной из частей, например V1, то действие на нее второй части V2 необходимо заменить распределенными по V1 массовыми силами и распределенными по S поверхностными силами. Сечение S можно проводить по-разному, и тогда распределенные по поверхности S силы будут различаться.
Рис. 2.2 Силы внутренних напряжений
Возьмем некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в ней различные площадки df. Ориентацию этих площадок будем определять нормалью n к ним, а полную силу, действующую со стороны части среды в объеме V2 на часть среды в объеме V1 на площадки df с нормалью n обозначим через d P. Далее примем d P = = s n d f, где s n - конечный вектор. Вектор s n можно рассматривать как поверхностную плотность силы взаимодействия разделенных частей вдоль площадки d f. В общем s n может зависеть от ориентации площадки d f и других ее геометрических свойств. Направление нормали n будем выбирать всегда так, чтобы она была внешней по отношению к той части среды, на которую действует вводимая сила s ndf. Так, например, влияние объема V2 на V1 будем заменять распределенными силами s n df, а влияние объема V1 на V2 - распределенными силами s -n df = - s n df (рис.2.2). Такого рода поверхностные силы можно вводить в любой точке сплошной среды. Это силы внутренних напряжений.
Рис.2.3 Разложение сил внутренних напряжений.
s ndf= s nn n df + snt t df, где s nndf - нормальная компонента силы внутреннего напряжения; sntdf- касательная или тангенцальная сила (сила внутреннего трения). Поверхностные силы s n df могут быть и внешними. В каждой точке M сплошной среды существует бесконечно много векторов s n , соответствующих бесконечному набору площадок df, проходящих через эту точку. Однако между ними имеется универсальная, независящая от частных свойств движущейся среды, связьdzpp.ений и ___________________________________________________________________________________________________________________.
Уравнение количества движения (импульса).
Основным динамическим уравнением движения материальной точки является 2-й закон Ньютона F = m a, где a = d u /dt Так как масса постоянна m= const, то m d u / dt = d(m u ) / dt= F. (2-17) Произведение m u называется количеством движения точки или импульсом. Для системы из n материальных точек с массой каждой из них m, движущихся со скоростью vi можно написать d(mi u i) / dt = F i, d(mi u i)/ dt= d ( mi u i)/ dt= Fi (e). (2-18) Здесь справа стоит сумма только внешних по отношению к системе сил, т.к. внутренние силы взаимодействия по 3-му закону Ньютона существуют попарно и при суммировании сокращаются. Выражение (2-18) можно переписать Q = mi u i= m u*, (2-19) где m = mi - масса всей системы; u * - скорость центра масс системы из точек. Причем u *= m -1 mi u i Вектор Q называется количеством движения системы. Тогда уравнение количества движения для системы из n материальных точек можно записать в форме d Q / dt= F i(e) или m d u */ dt= F i(e). (2-20) Производная по времени от количества движения системы материальных точек равняется сумме всех действующих на систему внешних сил. Для конечного индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, напишем уравнение количества движения d Q / dt= F rdd + s ndf, (2-21) где Q = u rdd (dd- элементарный объем); F rdd - сумма внешних массовых сил и s ndf - сумма поверхностных сил, действующих на среду в объеме V, соответственно. Следовательно, для любого индивидуального объема V сплошной среды можно записать уравнение количества движения d ( u rdd)/ dt= F rdd + s ndf. (2-22) Если на массу в объеме V дополнительно действуют еще внешние сосредоточенные в точке силы или силы, сосредоточенные вдоль некоторых линий, то их сумму надо добавить в правую часть (2-22). С учетом теоремы Гаусса- Остроградского уравнение (2-22) можно переписать в дифференциальной форме при r= const [2] r d u / dt= F r + ¶ s1 /¶ x+ ¶s2 / ¶ y + ¶ s3 / ¶ z, (2-23) где s1 , s2, s3 - напряжения, направленные параллельно координатным плоскостям прямоугольной декартовой системы координат.
Уравнение моментов количества движения
Умножив уравнение md u /dt= F векторно слева на радиус вектор рассматриваемой точки массой m относительно некоторой точки О - начала инерционной системы координат, получим уравнение моментов количества движения для точки d K / dt= Ф, (2-24) где K = r x m u; Ф = r x F. Для массы n материальных точек с массами mi, движущимися со скоростями u i, можно написать d(r i x mi u i)= r i x F i, где F i - главный вектор всех, в том числе и внутренних сил по отношению ко всей системе сил, действующих на рассматриваемую точку с массой mi. В сумме для K = (r i x m u i) получим d K / dt= (r i x F i (e)). (2-25) Здесь справа в силу 3-го закона Ньютона стоит сумма моментов только внешних для всей системы сил. Следует отметить, что момент количества движения системы материальных точек можно записать в форме K = r * x m u*+ (r i отн х m ui отн ), (2-26) где m= mi ; r *, u* - радиус- вектор и скорость движения центра масс; r i отн , ui отн - радиус- вектор и скорость движения i -й точки относительно центра масс и движущейся вместе с центром масс. Моментом количества движения конечного объема V сплошной среды обычно называют [2] K = r x u r dd, (2-27) где r - радиусы- векторы точек сплошной среды относительно некоторой неподвижной точки O, а u - их скорости. Если скорость объема d сплошной среды u = u *+ u отн, где u * - скорость рассматриваемой точки относительно центра масс, то можно записать K = r x Q + r отн х u отн r dd, где Q = m u* - количество движения материальной точки массы m, совпадающей с центром масс. Возможна также запись K *= r отн х u отн r dd. Момент количества движения равен [2] K = r x u r dd + k r dd, (2-28) где k - плотность собственных или внутренних моментов количества движения. С учетом изложенного, уравнение моментов количества движения системы материальных точек конечного индивидуального объема V сплошной среды можно записать в форме d( r x u r dd + k r dd)/dt= = r x а r dd + r x s ndf + h rdd+ q ndf. (2-29) Производная по времени от момента количества движения произвольного индивидуального объема V сплошной среды (с учетом собственных моментов) равна сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем, и сумме моментов, действующих на этот объем распределенных массовых и поверхностных пар, вызванных внешними по отношению к объему материальными объектами. Здесь вектором а обозначено ускорение от массовых сил, например ускорение свободного падения. Уравнения (2-22) и (2-29) являются базисными векторными уравнениями, и они применяются для любых сплошных сред и любых движений. В классическом случае уравнение (2-29) при отсутствии внутренних моментов количества движения и распределенных массовых и поверхностных пар имеет вид d( r x u r dd)/dt= r x а r dd + А df, (2-30) где А=r x s n В случае непрерывных движений сплошной среды можно, воспользовавшись равенством А= А1 cos ( n, x)+ А 2 cos( n, y)+ А 3 cos( n, z) и теоремой Гаусса- Остроградского, получить А df = div А dd. Моменты распределенных поверхностных пар можно представить в виде Q n= Q ini. Тогда с помощью теоремы Гаусса- Остроградского Q ndf= div Q dd. Полагая dm= rdd= const, уравнение (2-29) перепишем d (r x u r + k r dd)/dt= r x а r dd + [ div А + div Q ] dd + h rdd. Откуда в дифференциальной форме rd ( r x u + k )/dt= r r x а + div А + div Q + h r. (2-31) Так, для вращающегося относительно своей оси с угловой скоростью W стержня при отсутствии массовых сил (а= 0), распределенных массовых (h = 0) и поверхностных пар (Q =0) дифференциальное уравнение момента количества движения запишется r¶ (r2W) / ¶ t= ¶(rt)/ ¶x. Здесь k= r2W;¶ А/¶ х= ¶(rt)/¶х; t - касательные напряжения по сечению стержня. Если рассматривать максимальные касательные напряжения на наружной цилиндрической поверхности радиусом ro и учитывать, что возникающие напряжения направлены в противоположную от скорости движения сторону, то это уравнение можно переписать в форме ror ¶ W / ¶ t= - ¶ tmax / ¶ x. (2-32) Положим теперь, что на стержень действуют какие-либо внешние объекты, приводящие к появлению распределенных поверхностных пар. Тогда можно записать r¶ (r2W)/ ¶ t= ¶(rt)/ ¶x + ¶ Q / ¶x. Пусть при вращении на индивидуальный объем среды действует сила трения, создающая, момент h = r х v hdf, где v - скорость скольжения поверхности стержня относительно контактирующей поверхности; h - коэффициент трения. Из теоремы Гаусса- Остроградского следует h = r х v hdf= div (r х v h)dd Так как это взаимодействие происходит только по поверхности, то r= ro. В связи с чем ¶ Q / ¶x= ¶ (r2oW h)/ ¶x. Из последнего равенства следует, если h= const, то ¶ Q / ¶ x = 0. Обычно коэффициент потерь на трение является функцией скорости скольжения, необязательно линейной. Связь с длиной стержня может быть и есть, например, при проводке скважин, но весьма неоднозначная. 2.4. Линейное упругое тело.
Линейное упругое тело является частной моделью сплошного тела. Упругим телом, по Седову [2], называется среда, в которой компоненты тензора напряжений в каждой частице являются функциями компонент тензора деформаций, компонент метрического тензора, температуры и, возможно, других параметров физико-химической природы (например, концентрации фаз). Уравнения движения в перемещениях, уравнения Ламе, имеют вид (l+ m) grad (div w) + mD w + r F = r a (2-33) или в декартовой системе координат rax= (l+ m) ¶(¶ w1 /¶ x+ ¶ w2 /¶ y+ ¶ w3 /¶ z)/ ¶ x+ + m (¶ 2w1/¶ x2+ ¶ 2w1/¶ y2+ ¶ 2w1/¶ z2)+ rFx, ray= (l+ m) ¶(¶ w1 /¶ x+ ¶ w2 /¶ y+ ¶ w3 /¶ z)/ ¶ y+ + m (¶ 2w2/¶ x2+ ¶ 2w2/¶ y2+ ¶ 2w2/¶ z2)+ rFy, raz= (l+ m) ¶(¶ w1 /¶ x+ ¶ w2 /¶ y+ ¶ w3 /¶ z)/ ¶ z+ + m(¶ 2w3 /¶x 2+¶ 2w3 /¶ y 2+ ¶ 2w3 /¶ z2)+ rFz, где w1, w2, w3 - компоненты вектора перемещения w; a - вектор ускорения. Вместо коэффициентов Ламе l и m в теории упругости введены модуль Юнга (модуль упругости) E= m(3l+ 2m)/ (l+ m) (2-34) и коэффициент Пуассона, характеризующий сужение поперечного сечения. c= l/[2(l+ m)]. (2-35) Эти коэффициенты можно также определить из выражений c=Drl/(rD l); E= Ds l/D l, где D r, D l, Ds- соответственно, отклонения радиуса сечения, длины участка, напряжения. После упрощения уравнения Ламе записываются в форме (¶ 2 a /¶ t 2)xi = F + (l+ m)r -1o grad (div w) + m r -1oD w. (2-36) При наличии движения температура в упругом теле, вообще говоря, не остается постоянной, а меняется как с течением времени, так и от точки к точке объема, занятого упругим телом. Однако в случае волновых процессов, распространяющихся в упругом теле, температура из-за ее малой скорости изменения может считаться постоянной, т.е. процесс будет адиабатическим. В этой связи, полагая массовые силы равными нулю F = 0, для компонент вектора перемещения w из уравнения (2-36) выводятся уравнения [2] ¶ 2 w1/¶ x 2= a-21¶ 2w1/¶ t 2, (2-37) ¶ 2 w2 /¶ x 2= a-22 ¶ 2w2 /¶ t 2, (2-38) ¶ 2 w3 /¶ x 2= a-22 ¶ 2w2 /¶ t 2, (2-39) где a1= [(lа +2mа)/ r]1/2- скорость распространения продольной волны возмущений; a2= (mа/r)1/2 - скорость распространения поперечной волны возмущения. Здесь указаны значения коэффициентов Ламе для адиабатических процессов. В случае изотермических процессов в качестве нижнего индекса станет применяться буква «и». Когда не учитываются термодинамические особенности, то индексы не будут применяться. Следовательно, плоская упругая волна представляет собой две независимо распространяющиеся волны. В одной смещение w1 совпадает с направлением распространения самой волны. В другой - смещение лежит в плоскости, ортогональной к ее направлению, т.е. существуют две скорости звука. Например, для железа a1 = 7000 м/с, а2 = 3200 м/с. Поперечная волна сопровождается вращением частиц среды, но в ней не происходит изменения их объема. В продольной- наоборот, изменяется объем частиц, но нет вращения. Скорость продольных волн в изотропной твердой среде в справочнике по физике Яворского В.М., Детлафа А.А. описывается также выражением a1= [Er -1(1- c) (1+c)-1 (1- 2c)-1]1/2=q (Er -1)1/2, (2-40) а поперечных a2=(G/ r)1/2, (2-41) где G= E/[2(1+c)] - модуль сдвига; q= [1- 2c2/(1-c)]-1/2. Для стали модуль упругости (продольной упругости) равен Е @ @2,1*105МПа, коэффициент Пуассона - c= 0,24- 0,28; модуль сдвига G @ 8*104МПа. Тогда из (2-40) получим а1» 1,106(Е /r)1/2. Если полагать плотность, коэффициенты Ламе постоянными для данного материала, то, экспериментально определив скорость распространения звуковой волны, величину модуля упругости можно вычислить из выражения E= a21r/q 2. (2-42) Использованные выше коэффициенты в общем случае зависят от многих факторов. Поэтому при точных расчетах необходимо учитывать переменность указанных величин. При растяжении (сжатии) упругую деформацию металла в машинострои-тельной практике описывают законом Гука s= Ee. Здесь e = D l/l - относительное удлинение. Вообще, вопросами передачи энергии через металлические детали занимается также реология. До настоящего времени при традиционном подходе в этом процессе весьма много неясностей. Существует ряд гипотез и соответствующих феноменологических моделей Максвелла, Фойгта, Зинера. Так, из часто применяемой при анализе модели Зинера следует, что передачу движения через элементарную частицу вещества можно описать общим уравнением s+ te ds/dt = Е1(q+ts dq/dt), (2-43) где Е1 - модуль упругости при изотермическом процессе депформации; te2 - время релаксации при условии постоянной деформации; ts - время ретардации (запаздывания); q - деформация. Реологические исследования дали основание ввести дополнение к закону Гука, учитывающее особенности передачи динамических воздействий и записываемое в преобразованиях по Лапласу (см. подробнее гл.3) следующим образом: Еw= s(jw)/ q(jw)= Eu + jE, (2-44) где w - частота колебаний. Это уравнение позволяет представить процесс прохождения гармонического сигнала в виде частотной характеристики, показанной на рис. 2.4
Рис. 2.4 Особенность прохождения гармонического сигнала через металл (t’e = teE2/E1; E2 - модуль упругости при адиабатической деформации; j - сдвиг по фазе).
Измеряя скорость распространения звуковых волн, коэффициент затухания и учитывая значение q (см.(2-40)), можноопределить Еw. Кроме того, для процесса передачи мощности характерна нелинейная зависимость- гистерезисная петля, показанная на рис.2.5.
Рис.2. 5. Гистерезисная петля.
Если обратиться к кристаллам, то закон упругой деформации может быть выведен из рассмотрения упругого взаимодействия атомов. Взаимосвязь сил отталкивания и притяжения имеет такой же характер, как и при взаимодействии ионов и электронов в атоме рис.2.6. На больших расстояниях а притяжение и отталкивание пренебрежительно малы, но при сближении они возрастают. При таком выводе следует, что в зоне больших упругих деформаций или больших напряжений закон Гука становится нелинейным. Об этом свидетельствует и форма гистерезисной петли. В случае скручивания закон Гука записывается в форме t = G J - для малых деформаций. Здесь t - максимальное касательное (скалывающее) напряжение; G - модуль сдвига (для стали G = 8*104 МПа); J - угол сдвига (поворота) в радианах. Полный поворот сечения на расстоянии z от начала координат равен j=J‘z, где J‘= =dj / dz - относительный угол закручивания.
Рис. 2.6. Зависимость энергии взаимодействия Евд между ионами и электронами в кристалле: 1- силы отталкивания; 2- силы притяжения; Евдå- суммарная энергия взаимодействия.
Модули упругости определяют статическими и динамическими методами. Статические. Под действием нагрузки происходит растяжение, измеряя которое, определяют модуль упругости E. Недостаток заключается в том, что для получения точного результата нужна большая деформация, но при этом есть вероятность пластической деформации. Динамические. Модуль сдвига G определяют по частоте крутильных колебаний. Модуль упругости E определяют по частоте изгибных колебаний. Импульсный метод основан на определении скорости распространения волн через образец. При всестороннем сжатии s= KDV/ V, (2-45) где К - модуль всесторонней объемной упругости; D V - изменение объема. Приближенно DV/ V @ 3 Dl/ l= 3s / E, т.е. s/К= 3s/Е. Откуда К= Е/ 3. В практике машиностроения обычно полагают E= const, G= const. С учетом изложенного, с достаточной для практических расчетов точностью уравнение продольных колебаний можно записать в форме ¶ 2u / ¶ t 2= (E/r)¶ 2u /¶ x2, (2-46) где u - перемещение вдоль оси. При скручивании вала, стержня происходит последовательный поворот множества плоских поперечных сечений на расстоянии по оси друг от друга dx. Причем, как показывает теория упругости [2], эти сечения практичеси поворачиваются как твердые диски. Следовательно, точки двух сечений находящиеся на расстоянии ri от оси при повороте сечения на угол dj смещаются друг относительно друга на расстояние dw2= ridj. (2-47) Поэтому в случае отсутствия продольных колебаний и при действии только скручивающего импульса в стержне возникнут скручивающие движения, когда каждая точка от близлежащей будет смещаться на расстояние dw2. Подставим (2-47) в уравнение (2- 38) и сократим на ri ¶ 2j / ¶ t 2= (G /r)¶ 2j /¶ x2. (2- 48)
Основные понятия теории сопротивления материалов.
Ниже рассматриваемые основные понятия теории сопротивления материалов (сопромата) базируются на положениях механики сплошных сред, приведенных в разделах 2.1- 2.4, из-за чего возможны повторения. Если на стержень, площадь сечения которого равна f, в осевом направлении действует сила F, то в теле стержня образуются продольные напряжения s= F/f. (2-49) Из простых экспериментов получено, что под действием силы F происходит продольная деформация. При этом удлинение равно Dl= Fl/(Ef) = JF, (2- 50) где J= l/(Ef)- коэффициент продольной упругости. Из этой формулы можно также определить относительное удлинение e = Dl /l = s / Е и закон, называемый законом Гука, s = Еe. (2-51) Если стержень имеет переменное сечение, то его удлинение будет Dl= Fili/(Eifi), где индекс i относится к каждому участку.
Date: 2015-11-13; view: 830; Нарушение авторских прав |