Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Напряженное и деформированное состояние в точке
В предыдущем разделе рассматривалось одноосное растяжение или сжатие, т.е. внешняя сила действует строго по оси, направления элементарных сил, действующих на элементарных площадках, напряжений, параллельны оси стержня или перпендикулярны к поперечному сечению- это нормальные напряжения. Если внешняя сила будет направлена произвольно, то в теле возникнут разные напряжения: нормальные, касательные
Рис. 2.14 Напряжения на наклонной площадке.
Разрежем тонкую пластину, на которую действуют внешние силы, направленные параллельно ее граням, наклонным сечением и выделим из него элементарную треугольную призму (рис. 2.14). Для того, чтобы эта призма находилась в равновесии, на ее гранях должны действовать напряжения: нормальные (перпендикулярные граням) sa; sх; sу; касательные (параллельные граням) ta; tху; tух. Значения sa, ta не известны. Проецируя силы, действующие на призму, последовательно на направления нормали и касательной к наклонной площадке, получим формулы для вычисления нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке sa= sхcos2a+ sysin2a+ txysin(2a), (2-58) ta= 0,5(sy- sx)sin(2a)+ txycos(2a). (2-59) Если касательные напряжения равны нулю, то площадка называется главной. При этом из (2-59) получаем 2 txy /(sx- sy)= tg(2a). (2-60) Так как период тангенса равен p, то существует два взаимно перпендикулярных направления, образующих с осью х углы a0 и a0+ p/2, где касательные напряжения равны нулю, а в плоском напряженном состоянии существуют два главных напряжения. Их можно найти из уравнения (2-58) при a= a0 [1] sa= sхcos2a0 + sysin2a0 + txysin(2a0)= (sх+ sy)/2+ (sх- sy)/2+ +txysin(2a0)= 0,5(sх+ sy)± 0,5[(sх- sy)2+ 4t2xy]1/2. Откуда s1= 0,5(sх+ sy)+ 0,5[(sх- sy)2+ 4t 2xy]1/2, (2-61) s2= 0,5(sх+ sy)- 0,5[(sх- sy)2+ 4t 2xy]1/2. (2-62) Заметим, что s1> s2. Следовательно, плоское напряженное состояние в каждой точке тела может быть представлено как растяжение и сжатие в 2-х взаимно- перпендикулярных направлениях. При этом отметим, что при плоском напряженном состоянии третье главное напряжение равно нулю s3 = 0. Сложив (2-61) и (2-62), получим выражение s1+ s2= sх+ sу, из которого следует, что сумма нормальных напряжений на 2-х взаимно перпендикулярных площадках не зависит от угла их поворота. Дифференцируя по углу (2-59) и приравнивая это нулю, найдем tg(2at)= (sy- sx)/ txy (2-63) Подставив это равенство в (2-59), после преобразований получим t = ± 0,5[(sx- sy)2+ 4t2xy]1/2. (2-64) Откуда следует, что при txy= 0 максимальные и минимальные касательные напряжения равны по модулю и отличаются знаками, т.е. t max= 0,5 ½ s1- s2 ½. (2-65) Взаимное положение главных площадок и площадок с экстремальными касательными напряжениями определяется равенством tg2a0* tg2aT= - 1. (2-66)
Выделим теперь в теле, на который действуют разные силы, куб и нанесем на его гранях напряжения (рис.2.15). На рис. 2.15,а стороны куба параллельны координатным осям и здесь действуют нормальные и касательные напряжения. Поскольку тут имеются одинаковые парные составляющие, то в ряде случаев для изучения напряженного состояния выделяют пирамидку, а на ней- 6 компонентов сил. При этом само напряженное состояние оценивают тензором sx tyx tzx Т= txy sy tzy (2-67) txz tyz sz.
Тензор в отличие от вектора не имеет простого геометрического толкования. Его обычно задают в виде матрицы. Из предыдущего следует, что, повернув некоторым образом куб, можно получить такое напряженное состояние, когда касательных напряжений не будет, а останутся лишь главные напряжения (рис. 2.15,б). В этом случае каждое из напряжений в соответствии с законом Гука будет приводить к продольной относительной деформации в.
а) б) Рис. 2.15 Объемное напряженное состояние.
направлении его вектора e i j= s i/ E и поперечной для двух других направлений e j i = -cs j/Е Таким образом, относительные деформации в объемном напряженном состоянии равны e1= Е-1[s1 - c(s2 + s3)], (2-68) e2= Е-1[s2 - c(s1 + s3)], (2-69) e3= Е-1[s3- c(s2 + s1)], (2-70) Заметим, что s1 > s2 > s3. Уравнения (2-68)...(2-70) представляют собой закон Гука для объемного напряженного состояния. Так как объем параллелепипеда равен V= abc, то изменение объема будет DV= (¶V/¶a)Da+ (¶V/¶b)Db + (¶V/¶c)Dc = bcDa+ acDb+ baDc, а относительное изменение объема eV= DV/ V= Da/a+ Db/b+ Dc/c= e1 + e2 + e3. (2-71) С учетом (2-68)....(2-70) относительное изменение объема будет eV= (1-2c)Е-1(s1 + s2 + s3). (2-72) Если при одноосной деформации потенциальная энергия, накопленная единицей объема равна Ep1= 0,5s1e1, то при объемном напряженном состоянии Ep3= 0,5(s1e1+ s2e2 + s3e3 ). (2-73)
Теории прочности Для оценки прочности деталей применяют 4 теории прочности: 1. Теория наибольших нормальных напряжений. Здесь развиваемые нормальные напряжения не должны превышать допускаемые значения, определяемые по специальным требованиям, т.е. s £ [s]. 2. Теория наибольших линейных деформаций, по которой деформации не должны превышать допускаемые значения, т.е. e£ [e]; q£ [q]. 3. Теория наибольших касательных напряжений, по которой опасное состояние для детали наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, при котором проявляется текучесть материала. Условие прочности здесь записывается в форме tmax£ t0, где t0 - предельное значение касательного напряжения при кручении. Применяя это условие для плоского напряженного состояния, получают в предельных случаях sэкв= s1- s3£ s0, а учитывая (2-61), это условие принимает вид sэкв= [(sx - sy )2+ 4t2xy]1/2. (2-74) Часто sу= 0, тогда будет sэкв= [sx + 4t2xy]1/2. (2-75)
4. Энергетическая теория прочности основана на предположении, что сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если они имеют одинаковые удельные энергии изменения формы. В общем случае деформации часть энергии расходуется на изменение объема, а часть на изменение формы. Из этих предположений вытекают формулы sэкв= si= 2-1/2[(sz- sy)2+ (sy- sx)2+ (sz- sx)2 + 6(t2xy+ t2zx+ t2yz)]1/2. (2-76) ei= [21/2 (1+c)] -1[(ey- ez)2+ (ez- ex)2+ (ex- ey)2+ 1,5(q 2yz+ q 2zx+q 2xy)]1/2 . (2-77) Здесь буквами si , ei обозначены, соотвественно, интенсивность напряжений и интенсивность деформаций; qij - относительный угол закручивания. Эти формулы справедливы как для упругой, так и для пластичной деформации [3]. Исходя из этого, обобщенный закон Гука записывается в форме si = E’ei , (2-78) где E’ - называется обобщенным модулем упругости, изменяющимся по мере деформации или в зависимости от действующих напряжений. Для плоского напряженного состояния, когда sz=0, tzx= tzу= 0 из (2-76) следует si= 2-1/2[ 2sy2- 2sysx+ 2sx2 + 6t2xy]1/2 = (sy2- sysx+ sx 2+ 3t2xy]1/2. (2-79) Если же имеет место одноосное напряженное состояние (sx = 0), то получим si= sэкв = (s2 + 3t 2] 1/2. (2-80) Соотношение (2-80) используют в качестве условия возникновения пластических деформаций sэкв = sт. Если имеет место чистый сдвиг, то при s=0 из (2-80) получим касательное напряжение текучести tт= sт / . (2-81) Заметим, что по 3-й теории прочности tт= sт /2. Пример 2.2: Определить запас прочности по пластической деформации болта М 24х1,5 при F0= 45кН; Мкр= 200Нм; sт = 650 МПа. Внутренний диаметр резьбы d1 = 22,38 мм. Тогда продольные напряжения равны s1 = 4F0 /(pd21)= 4*45000/(p22,382)= 114,65 МПа;максимальные касательные напряжения (см. (2-96)) равны t1@ Мкр./(0,2 d31)= 200000/(0,2*22,383)= 178,4 МПа.
Тогда sэкв= si= (s21+ 3t21)1/2= 325 МПа. Запас по прочности будет n1 = sт/si= 650/325= 2. Date: 2015-11-13; view: 750; Нарушение авторских прав |