Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Перемещения в брусе





При упругом изгибе.

Выше было выведено (2-109) d2y/dx2= M/(EJz). Причем

dy/dx= tga» a.

Рассмотрим балку длиной l с заделкой (рис. 2.33)

F

 
 


x

C Рис.2.33 Изгиб балки

x

 

Под действием силы F балка прогибается вверх.

Перепишем приведенное уравнение для участка x-l в форме

EJzy’’= M(x)= F(l-x).

Проинтегрируем по х

EJzy’= Flx- Fx2/2+ C1;

EJzy= Flx2/2 - Fx3/6+ C1x+ C2.

Постоянные С1, С2 определим из граничных условий:

при х=0 (в заделке) y’= dy/dx= 0; y= 0.

Следовательно

0= Fl*0- F*02/2+C1 и C1=0.

Выполнив подобные действия со 2-м уравнением получим С2=0.

В итоге

y’(x)= (Flx- Fx2/2)/(EJz)= Fx(l- x/2) /(EJz). (2-146)

y(x)= Fx2(l/2- x/6)/(EJz). (2-147)

При х= l будет

y’(x)= Fl2 /(2EJz)- угол наклона линии изгиба;

и прогиб крайней точки балки

y(x)= Fl3/(3EJz ). (2-148)

Применим теорему Кастильяно.

Потенциальная энергия, накопленная стержнем

U= M2(x)(2EJz)-1dx. (2-149)

По указанной теореме yi= ¶ U/¶ Fi , ¶ M/¶ Fi = l - x, то прогиб в точке действия сосредоточенной силы Fi равен

yi= M(x)(EJz)-1[¶ M(x) /¶ Fi ]dx= M(x)(l-x)(EJz)-1dx=

= [F(l-x)](l-x)(EJz)-1dx= (EJz)-1F(l2x- 2lx2/2+ x3/3)| = Fl3/(3EJz).

Для угла изгиба при действии сосредоточенного момента Mi можно записать

j= ¶ U/¶ Mi = M(x)(EJz)-1 [¶M(x) /¶Mi ] dx. (2-150)

Многие задачи сопромата с использованием теоремы Кастильяно решаются следующим образом.

В изучаемую точку системы условно прикладывается дополнительная сила Fд или изгибающий момент Мд. Затем составляется выражение для потенциальной энергии системы с учетом этой силы (момента) и применяется теорема Кастильяно (берется частная производная по дополнительной силе (моменту)). Полученное соотношение будет верным для определения прогиба (угла поворота) сечения стержня при любых числовых значениях дополнительной силы. Принимая затем Fд= 0 (Мд= 0) найдем интересующее нас значение прогиба или поворота сечения стержня.

Так, для рассматриваемого примера приложим в точке С дополнительный изгибающий момент, направленный против часовой стрелки. Тогда изгибающий момент в сечении стержня

M(x)= Mд- F(l- x),

а частная производная

¶ M/¶ Mд= 1.

В этом случае угол поворота будет

j= ¶U/¶M= (EJz)-1 M(x) 1 dx = (EJz)-1 [Mд- F(l- x)]dx,

а при Мд = 0 получим

j= - (EJz)-1 [ F(l- x)]dx=- (EJz)-1 F[lx- x2/2] =- Fl2/(2EJz). (2-151)

При произвольной нагрузке.

Наиболее просто перемещения находятся при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного бруса. Этому предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в брусе. Он производится методом сечений с помощью построения эпюр изгибающих и крутящих моментов, а если необходимо и построением эпюр нормальных и поперечных сил. Эпюры строятся по осевой линии бруса.

В общем случае потенциальная энергия бруса длиной l определяется выражением

U= [Mк2/2GJк)]dz+ [Mx2/2EJx)]dz+ [My2/2EJy)]dz+ + [N2/2E f)]dz+ [kxQx2/2G f)]dz+ [kyQy2/2G f)]dz, (2-152)

где Mк, Mx, My- соответственно, крутящий, изгибающие относительно оси Х и оси Y моменты; N, Qx, Qy - нормальная, поперечные относительно осей X, Y силы; ky= (F/J2x) (S*2x/b2)df, kx= (F/J2y) (S*2y/h2)df- коэффициенты для определения касательных напряжений по формуле Журавского от действия поперечной силы Q при площади сечения f.

По теореме Кастильяно можно определить перемещение от действия конкретной силы или момента. Если же необходимо определить перемещение любой точки А системы, то вводят фиктивные силы или моменты, в общем случае обозначаемые как силовые факторы Ф. Находят с учетом их выражение для U. Затем, дифференцируя U по Ф, определяют для искомой точки перемещение по направлению силы Ф, а после этого силу Ф приравнивают нулю и определяют таким образом искомое перемещение

dА = ¶U/¶Ф ú Ф=0= Mк Р Мк1(GJк)-1dz+ Mх Р Мх1(EJx)-1dz+

+ My Р Мy1(EJy)-1dz dz+ NP N1(Ef)-1dz+ kxQxP Qx1(G f)]dz+

+ [kyQyP Qy1(G f)-1dz, (2-153)

где МкР - крутящий момент, действующий в сечении, например от силы Р; МхР , МуР - изгибающие моменты относительно осей X, Y; QxP, QyP- перерезывающие силы, действующие по осям X, Y; Mк1, Мх1, N1, Qy1 - некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине бруса.

Приведенные интегралы называются интегралами Мора.

Недостаток определения перемещений с помощью таких интегралов заключается в необходимости составления аналитического выражения подинтегральных функций, что особенно неудобно в брусах с большим количеством участков. Если же брус состоит из прямых участков с постоянной в пределах участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на линейности эпюр от единичных силовых факторов на прямолинейных участках.


Положим на участке длиной l нужно взять интеграл

J= f1(z)f2(z)dz. (2-154)

при условии, что, по крайней мере одна из этих функций, линейна. Пусть f2(z)= =b+ kz. Тогда выражение (2-154) примет вид

J= b f1(z) dz + k zf1(z) dz.

Первый из интегралов- площадь под кривой f1(z), т.е.

f1(z) dz = = W1.

Второй представляет собой статический момент этой площади относительно оси y1, т.е. zf1(z) dz= W1zц.т., где zц.т - координата центра тяжести первой эпюры.

В итоге получаем

J= W1(b + k zц.т),

но b + k zц.т= f2(zц.т.)

Таким образом, получаем

J= W1f2(zц.т.). (2- 155)

Такой способ, способ Верещагина, позволяет операцию интегрирования заменять перемножением площади 1-й эпюры на ординату 2-й эпюры под центром тяжести эпюры первой. Если обе функции линейные, то порядок перемножения безразличен.

Этот способ может быть применен к любому из шести интегралов Мора.

Заметим, что центр тяжести прямоугольника площадью W= lh находится на расстоянии l/2; центр тяжести треугольника площадью W= lh/2 находится на расстоянии l/3 от катета; центр тяжести параболического треугольника площадью W= lh/3 находится на расстоянии l/4 от катета.

Пример 2.8: При помощи правила Верещагина определить перемещение точки А балки на рис.2.34.

Строим эпюру изгибающих моментов от заданных сил Р (рис. 2.34,б). Затем, снимая внешние силы, прикладываем в точке А единичную силу и от нее строим эпюру (рис.2.34,в и г).

Далее, производим перемножение эпюр.

На участке ВС площадь эпюры моментов заданных сил W= Pl2/2.

Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментов заданных сил будет М= l/3.
Перемножая эти величины, находим

W М= Pl3/6.

Участок ВD не может рассматриваться целиком, т.к. на нем эпюра моментов единичной силы является ломаной. Берем половину участка, т.е. отрезок АВ. Здесь

W= Pl2/2; M1цт= (5/8)l; WM1цт= 5Pl3/16.

 

 

а)

 

Рис.2.34

 

 

б)

 

в)

 

г)

 

 

Складывая полученные выражения WM1цт , находим

(WM1цт)АС= Pl3/6+ 5Pl3/16= 23Pl3/48.

Для участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение и, разделив его на EJ, находим искомое перемещение

d= 23PL3/(24EJ).

 







Date: 2015-11-13; view: 539; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.02 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию