Обратная матрица. Как уже было отмечено, АВ ≠ ВА, но имеются и для этого закона исключения:

Как уже было отмечено, АВ ≠ ВА, но имеются и для этого закона исключения:

АЕ = ЕА, где А, Е – квадратные матрицы, причем Е – единичная матрица.

А ^* А = АА ^*, где А ^* – матрица, присоединенная к матрице А.

Присоединенная матрица А ^*= состоит из элементов А_ij – алгебраических дополнений к элементам а_ij данной матрицы А. Алгебраическое дополнение к элементу а_ij есть тот определитель, который получен из определителя матрицы А «вычёркиванием» строки и столбца элемента а _ij, причём этот (полученный) определитель берётся со знаком плюс, если сумма (i + j) – чётная, и со знаком минус, если – нечётная.

Пример. Пусть А = , тогда а ₁₁ → А ₁₁= а ₂₂, а ₁₂ → А ₁₂= – а ₂₁, а ₂₁ → А ₂₁= – а ₁₂ , а ₂₂ → А ₂₂ = а ₁₁. А ^*=

Нетрудно проверить, что А ^* А = АА ^*= | A | E = | A | .

Невырожденные матрицы – квадратные матрицы с отличным от нуля определителем. Для таких матриц существуют обратные, а именно: матрица А ^-1 называется обратной к матрице А, если А ^-1 А = АА ^-1= Е.

Учитывая А∙А ^*= А ^*∙ А = ∙ Е, получим, что А ^-1= А ^*. Это один из способов нахождения обратной матрицы.

Пример: Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение. = =–2, А ₁₁=4, А ₂₁=–2, А ₁₂=–3, А ₂₂=1.

А ^-1= = . Проверку сделать самостоятельно.

Замечание. Для произведения матриц выполняется ассоциативный закон: (AB) С = A (BC).

Пример. Проверить равенство

.

Date: 2015-12-10; view: 389; Нарушение авторских прав