Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Поверхности второго порядкаС ранее рассмотренными кривыми второго порядка связаны следующие поверхности. Одна из них – сфера S, уравнение которой может быть записано следующим образом: (x – x 0)2 + (y – y 0)2 + (z – z 0)2 = R 2, где М 0(х 0; y 0; z 0) – центр сферы, а R – её радиус. Сферу можно получить как результат вращения в пространстве окружности вокруг её диаметра. Аналогично, при вращении эллипса вокруг одной из его осей можно получить эллипсоид вращения (рис. 1). рис. 1 В грубом приближении поверхность Земли (так называемый геоид) является эллипсоидом вращения, ось вращения которого проходит через северный и южный полюсы. Вращая гиперболу вокруг мнимой оси, получим однополостный гиперболоид вращения (рис.2) рис. 2 Если гиперболу вращать вокруг её действительной оси, то получим двуполостный гиперболоид вращения. (рис.3) рис. 3 При вращении параболы вокруг её оси, получаем параболоид вращения (рис.4). рис. 4 Отметим, что сечениями этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными оси вращения, являются окружности. Все выше перечисленные поверхности вращения могут быть преобразованы сжатием (растяжением) к плоскости, в которой находится ось вращения, в одноименные поверхности: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид (без слова «вращения»), а параболоид вращения преобразуется в эллиптический параболоид, выпишем их уравнения: 1. – эллипсоид; 2. – однополостный гиперболоид; 3. – двуполостный гиперболоид; 4. – эллиптический параболоид.
Замечания. 1. Парабола обладает оптическим свойством: для светового луча, падающего из фокуса, отражённый от кривой луч лежит на прямой, параллельной оси параболы. Поэтому у параболоида вращения, или эллиптического параболоида, так же есть оптическое свойство: поместив источник света в фокус, получим, что отражённые от поверхности световые лучи окажутся параллельными оси параболоида. Это находит применение в технике (кривые зеркала в фарах, прожекторах; спутниковые антенны – тарелки в форме параболоида – принимают радио- и теле-сигналы). 2. К поверхностям второго порядка относится и гиперболический параболоид (рис. 5): . рис.5 Наряду с эллипсоидами, параболоидами и гиперболоидами рассматриваются также конические (рис.6) и цилиндрические поверхности второго порядка. Если пересечь конус плоскостями, не проходящими через его вершину, то можно получить эллипс (рис. 6), гиперболу (рис.7) и параболу (рис.8). Поэтому эти кривые называют часто коническими сечениями.
рис. 6 рис. 7 рис. 8 Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале системы координат OXYZ имеет вид: . Цилиндры можно получить так: линию второго порядка переместить в пространстве в направлении, не параллельном её плоскости. Тогда из эллипса получим эллиптический цилиндр (рис.9): . Из гиперболы получим гиперболический цилиндр (рис. 10): . При перемещении параболы в результате имеем параболический цилиндр (рис.11): z 2=2 py. рис. 9 рис.10 рис.11
|