Ряди Фур’є для періодичних функцій

Тригонометричний ряд для функції , заданій на відрізку , вигляду

(5)

називається рядом Фур’є, якщо його коефіцієнти, які називаються коефіцієнтами Фур’є для , обчислюються за формулами:

, (6)

, (7)

, (8)

де .

Якщо є - періодичною, то згідно з теоремою 1 із 5.1 у формулах (6)-(8) інтеграли можна брати у межах від 0 до . Вибір відповідних меж залежить від зручності інтегрування.

Умови, яким повинна задовольняти функція , щоб її ряд Фур‘є (5) був збіжним, визначаються відомою теоремою Діріхле.

Теорема (Діріхле). Якщо функція , задана на відрізку задовольняє такі умови:

1) неперервна за винятком скінченого числа точок розриву I роду;

2) має скінчене число екстремумів, то ряд Фур’є функції є збіжним на всьому відрізку , а сума цього ряду:

а) дорівнвє у всіх точках неперервності функції, які лежать усередині інтервала ;

б) дорівнює у всіх точках розриву;

в) дорівнює на кінцях проміжка.

Оскільки членами ряду (5) - - періодичні функції, то із збіжності ряду на відрізку випливає його збіжність для всіх . Отже, сума ряду є -періодичною функцією. Таким чином, для збіжності ряду Фур’є саме до функції необхідно вважати, що теж -періодична.