Деякі властивості, пов’язані з визначеними інегралами

V. Ряди Фур’є

Спочатку нагадаємо означення періодичності функції:

Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке число , від додавання (або віднімання) якого до значення функції не зміниться:

.

Найменше додатне число, яке має таку властивість, називається періодом і позначається буквою :

.

Рис. 1.

Відмітимо властивість визначеного інтеграла, яка пов’язана з періодичністю функції.

Теорема 1. Для всякої періодичної функції періода виконується рівність

, (1)

де - довільне число.

Для доведення використаємо властивість адитивності визначеного інтеграла:

. (2)

В третьому інтегралі зробимо заміну , ,

якщо , то , якщо , то . Отже,

.

Таким чином, останній доданок в правій частині (2) знищується з першим доданком, і тому справджується рівність (1).

Теорема 2. Нехай функція задана на відрізку і є парною , тоді

. (3)

Для доведення необхідно розглянути рівність

,

і в першому інтегралі зробити заміну .

Теорема 3. Нехай функція задана на відрізку і є непарною , тоді

. (4)