Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Геометричний зміст диференціала
|
|
1. Нехай функція z=f(x,y), що описує деяку поверхню, має в околі Ро(хо ,уо ) неперервні частинні похідні. Поставимо у відповідність точці Ро(хо ,уо ) точку Мо (хо ,уо ,zо ), де Zо = f (xо ,yо ), що належить данній поверхні. Розглянемо ще дві точки цієї поверхні 
і 
. Проведемо через точки М0 , М1 , М2 січну площину, скориставшись відомим з аналітичної геометрії рівнянням:
.
В даному випадку 
, 
, 
, 
, 
, 
, тому рівняння січної площини М0 М1 М2 запишеться
або
(9.1)
Перейдемо у (9.1) до границі при 
, 
.
Означення 9.1. Граничне положення січної площини (9.1) при 
називається дотичною площиною.
Отже, отримали:
(9.2)
рівняння дотичної площини до поверхні z=f(x,y) в точці
М0(x0 ,y0 ,z0 ), де Z0=f (x0 ,y0 ).
Можна довести, що якщо на поверхні z=f(x,y) через точку М0 провести довільні гладкі криві лінії і в цій точці проводити дотичні до них, то всі ці дотичні будуть розміщені в знайденій площині.
Позначивши в (9.2) 
, зауважимо, що права частина цієї рівності є повним диференціалом функції в точці
М0:
,
а ліва частина (9.2) дорівнює приросту аплікати дотичної площини.
Отже, за своїм геометричним змістом повний диференціал функції співпадає з приростом аплікати дотичної площини, проведеної до поверхні z=f(x,y) в точці Мо.
Означення 9.2. Пряма, що проходить через точку Мо(хо,yо,zо) поверхні z=f(x,y) перпендикулярно до дотичної площини, називається нормаллю до поверхні.
Оскільки нормальний вектор дотичної площини 
служать напрямним вектором нормалі (див. рис.9.1), то рівняння нормалі має вигляд:
.
 |
Рис. 9.1.
Якщо поверхня задана неявно
F(x,y,z)=0
і на ній зафіксована точка Mо (xо ,yо ,zо ), то за відомими формулами знаходимо:
, (9.4)
.
Підставляючи (9.4) в (9.2), після спрощення, маємо:
(9.5) рівняння дотичної площини в точці Mо (xо ,yо ,zо ) до поверхні F(x,y,z)=0.
Відповідно до (9.5) рівняння нормалі матиме вигляд:
(9.6)
Приклад. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до кулі x2+y2+z2=12 в точці Mо (2,2,2).
Розв'язання. Функція задана неявно
.
Тоді
; 
; 
Згідно формули (9.5) маємо:
4(x-2)+4(y-2)+4(z-2)=0
або 
- рівняння дотичної площини,
-нормаль.
Рекомендуємо самостійно побудувати кулю, дотичну площину та нормаль у вибраній системі координат.
Date: 2015-12-10; view: 593; Нарушение авторских прав