Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Геометричний зміст диференціала⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
1. Нехай функція z=f(x,y), що описує деяку поверхню, має в околі Ро(хо ,уо ) неперервні частинні похідні. Поставимо у відповідність точці Ро(хо ,уо ) точку Мо (хо ,уо ,zо ), де Zо = f (xо ,yо ), що належить данній поверхні. Розглянемо ще дві точки цієї поверхні і . Проведемо через точки М0 , М1 , М2 січну площину, скориставшись відомим з аналітичної геометрії рівнянням:
.
В даному випадку , , , , , , тому рівняння січної площини М0 М1 М2 запишеться
або (9.1) Перейдемо у (9.1) до границі при , . Означення 9.1. Граничне положення січної площини (9.1) при називається дотичною площиною.
Отже, отримали:
(9.2)
рівняння дотичної площини до поверхні z=f(x,y) в точці М0(x0 ,y0 ,z0 ), де Z0=f (x0 ,y0 ).
Можна довести, що якщо на поверхні z=f(x,y) через точку М0 провести довільні гладкі криві лінії і в цій точці проводити дотичні до них, то всі ці дотичні будуть розміщені в знайденій площині. Позначивши в (9.2) , зауважимо, що права частина цієї рівності є повним диференціалом функції в точці М0:
,
а ліва частина (9.2) дорівнює приросту аплікати дотичної площини. Отже, за своїм геометричним змістом повний диференціал функції співпадає з приростом аплікати дотичної площини, проведеної до поверхні z=f(x,y) в точці Мо. Означення 9.2. Пряма, що проходить через точку Мо(хо,yо,zо) поверхні z=f(x,y) перпендикулярно до дотичної площини, називається нормаллю до поверхні. Оскільки нормальний вектор дотичної площини служать напрямним вектором нормалі (див. рис.9.1), то рівняння нормалі має вигляд: .
Рис. 9.1.
Якщо поверхня задана неявно F(x,y,z)=0 і на ній зафіксована точка Mо (xо ,yо ,zо ), то за відомими формулами знаходимо: , (9.4) . Підставляючи (9.4) в (9.2), після спрощення, маємо: (9.5) рівняння дотичної площини в точці Mо (xо ,yо ,zо ) до поверхні F(x,y,z)=0. Відповідно до (9.5) рівняння нормалі матиме вигляд: (9.6) Приклад. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до кулі x2+y2+z2=12 в точці Mо (2,2,2). Розв'язання. Функція задана неявно . Тоді ; ; Згідно формули (9.5) маємо: 4(x-2)+4(y-2)+4(z-2)=0 або - рівняння дотичної площини, -нормаль. Рекомендуємо самостійно побудувати кулю, дотичну площину та нормаль у вибраній системі координат.
|