Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Повний диференціал, його застосуванняДля функції Z = f (x, y) повний приріст у точці М (x, y) означається як DZ = f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y). Неперервність функції Z = f (x, y) у точці М (x, y) можемо означити так:
А тепер перейдемо до виведення формули для DZ, яка в подальшому гратиме важливу роль. Перетворимо вираз для повного приросту функції, застосовуючи відому формулу Лагранжа для однієї змінної: В результаті отримаємо: DZ = f(x + Dx, y + Dy) – f (x, y) = (f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y + Dy)) + + (f (x, y + Dy) - f (x, y)) = = Dx + Dy, де x < c1 < x + Dx; y < c2 < y + Dy, якщо > 0, якщо ж < 0, то матимемо протилежні нерівності. Нехай в точці М (x, y) обидві частинні похідні неперервні. Оскільки неперервна, тобто , то із властивості границі випливає, що в околі точки М(x, y) має місце співвідношення: ,
де
Аналогічний вираз маємо для : , де Таким чином, отримуємо формулу повного приросту функції двох змінних: , (5.1) де e1,e2 ® 0, якщо Dx, Dу ® 0. Означення 5.1. Функція називається диференційовною в точці М(x, y), якщо в деякому околі цієї точки DZ має вигляд (5.1). Означення 5.2. Диференціалом функції Z= f(x, y) називається головна частина її приросту, лінійна щодо приросту її аргументів: , (5.2) де dx = Dx, dy = Dу, бо приріст незалежної змінної дорівнює її диференціалу. Доданки в (5.2) є частинними диференціалами: dxZ = , dyZ = . Зазначимо, що на відміну від функції однієї змінної, диференційовність функції двох змінних передбачає не тільки існування й обмеженість частинних похідних, а й їх неперервність. Для функції Z = f (x1 , x2 , …, xn) маємо: dZ = . Приклади. Знайти повні диференціали функції: 1. . 2. . 3. 4. . Розв’язання. 1. . За формулою (5.2) маємо:
2. . . 3. 4. . Застосування повного диференціала базується на наближеній рівності: . Нехай відомо значення f (x0 ,y0 ). Тоді для маємо формулу для наближеного обчислення: . Звідки отримуємо формулу для наближеного значення функції: (5.3) Приклад. Обчислити наближене значення функції в точці М1(2,05; 2,94). Представимо 2,05=2+0,05; 2,94=3-0,06. Тоді: Легко бачити, що . Обчислимо значення диференціала функції в точці М0(2,3): = . Згідно формули (5.3) знаходимо: . Більш точний результат за допомогою мікрокалькулятора дає 3,9807. Якщо Z=f (x,y), то похибка DZ при обчисленні Z за умови, що х і у виміряні з похибками Dх і Dу, має вигляд: - - формула для оцінки абсолютної похибки наближених обчислень.
|