Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Лінії та поверхні рівняОзначення 2.1. Змінна величина Z називається функцією двох змінних x і y, якщо кожній парі чисел (x, y) (або кожній точці М(x, y)) з деякої множини D площини xOy ставиться у відповідність визначене значення змінної Z. Позначається Z = f(x, y) або Z = f (M).
Наприклад. 1) Площа прямокутника S = xy є функцією двох змінних x і y – довжин відповідних сторін; 2) Об'єм конуса V = 1/3 p R2h – функція радіуса основи R і висоти h.
Означення 2.1. узагальнюється на більшу кількість змінних.
Означення 2.2. Змінна Z називається функцією незалежних змінних x1, x2 , … xn з деякої множини D, що належить n -вимірному простору Rn, якщо кожній точці М(x1, x2 , … xn) D ставиться у відповідність визначене значення змінної Z: Z = f (M) = f (x1, x2 , … xn). Наприклад: 1) Температура Т в даній точці М залежить від її координат x, y, z, а також від моменту часу t, в який вона вимірюється, тобто T = f (x, y, z, t). 2) Очікуваний прибуток Р від споруджуваного промислового об'єкта є функцією затрат на його будівництво, часу t від початку будівництва до початку випуску продукції, від величини попиту Q на цю продукцію та інших економічних факторів.
Означення 2.3. Множина D точок, в яких функція визначена називається областю визначення або областю існування функції, а множина Е, яка складається із значень функції, називається множиною значень функції f (M). У випадку n = 2 функція двох змінних Z = f (x, y) може розглядатися як функція точки площини в тривимірному просторі R3. Графіком функції Z = f (x, y) є геометричне місце точок (x, y,) f (x, y)), яке описує деяку поверхню в просторі R3. Приклад 2.1. Знайти область визначення і множину значень функції . Функція Z має дійсні значення за умови 1 – x2 – y2 ≥ 0, або x2 + y2 < 1, тобто областю визначення даної функції є замкнений круг радіуса 1 з центром в точці О(0,0). Множиною значень функції є сегмент [ 0, 1 ], що випливає з виразу Z = Ö 1 – x2 – y2. Графіком функції є верхня напівсфера радіуса 1 з центром в точці О(0,0,0). Рис 2.1
Приклад 2.2. Знайти область визначення поданих функцій: 1) ; 2) ; 3) ; 4). 1). Розв’язання для виконаємо за такою схемою: 1. Нагадаємо, що елементарна функція визначена, якщо . 2. Складаємо аналогічну нерівність для заданої функції двох змінних: , яка рівносильна двом системам нерівностей, а саме, (1) , або (2) . 3. Замінимо останні нерівності рівняннями, отримаємо рівняння границі області визначення: х=2 – пряма, перпендикулярна осі ОХ, у=1 – пряма, перпендикулярна осі ОУ. Будуємо їх в системі ХОУ (див. рис. 2.2) 4. Відносно прямих х=2 і у=-1 вибираємо ті частини площини ХОУ, де виконуються нерівності (1) або (2).
Рис. 2.2.
2). Розв’язання для функції , проведемо за викладеною вже схемою: 1. Елементарна функція однієї змінної y=lg x визначена, якщо x>0. 2. Аналогічна нерівність для функції запишеться: . (3) 3. Замінимо в (3) нерівність рівнянням: - коло радіуса 5 з центром в О(0;0), яке є границею області. 4. Пробна точка О(0;0) задовольняє нерівність (3) Отже, О(0;0) належить області розв’язків нерівності (3). Тобто вся область визначення – це множина точок, які лежать у середині заданого круга, виключаючи границю , бо нерівність (3) строга (див. рис. 2.3).
Рис 2.3
3) Розв’язання для функції за відомою схемою: 1. Відповідною елементарною функцією однієї змінної є , яка існує для . 2. Аналогічна нерівність для функції запишеться: . (4) 3. Замінивши нерівності на рівняння, отримаємо дві параболи і , які симетричні відносно осі ОУ з вітками напрямленими вверх, причому вершина першої з них в точці , а другої в точці . 4. Пробна точка О(0,0) задовольняє ліву а також і праву нерівності (4) , Тобто початок координат знаходиться нижче першої параболи і вище другої - . Область визначення - всі точки площини ХОУ між цими параболами, включаючи і ці криві (див. рис. 2.4). Рис. 2.4 4) Розв’язання для функції . 1. Відповідна функція однієї змінної визначена для . 2. Для функції аналогічна нерівність запишеться: . (5) 3. Рівняння описує еліпс, канонічна форма якого: , (6) півосі цього еліпса , .
4. Пробна точка О(0,0) нерівність (5) не задовольняє, бо нерівність - невірна, тобто О(0,0), як внутрішня точка даної фігури, не входить у множину розв’язків нерівності (5). Множина розв’язків нерівності (5) – це всі точки, які лежать зовні еліпса. (див. рис. 2.4), не включаючи точок еліпса.
Рис 2.5
Приклади для самостійного розв’язання: Знайти область визначення функції: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Відповіді. 1. Множина точок, які розміщені між віссю ОУ вище вітки параболи в першій чверті. 2. Множина точок . 3. Множина точок . 4. Множина точок , які розміщені на еліпсі та зовні його. 5. Множина точок , які розміщені строго нижче прямої . 6. Областью визначення є смуга між двома паралельними прямими і , включно з цими прямими. Означення 2.4. Лінією рівня функції Z = f (x, y) називається лінія f (x, y) = С на площині xOy, в точках якої функція має стале значення Z = C.
Означення 2.5. Поверхнею рівня функції U = f (x, y, z) називається поверхня f (x, y, z) = С, в точках якої функція має стале значення U = C. Приклад 2.3. Знайти лінії рівня функції
Рівняння ліній рівня мають вигляд (C > 0). Якщо С приймає дійсні значення, то отримуємо концентричні кола з центром в точці О(0,0), радіуса , де .. Зауважимо, що за допомогою ліній рівня f (x, y) = С можна побудувати поверхню Z = f (x, y) (рис. 2.2)
Рис. 2.6. Основними способами задання функції двох змінних є такі: 1) аналітичний, тобто за допомогою аналітичного виразу(формули); 2) табличний, за допомогою таблиці з двома входами, де кожній парі чисел та ставиться в таблиці відповідне значення
3) графічний, графіком функції двох змінних може бути деяка поверхня
|