Формула Тейлора для функцій одної і двох змінних

Нехай функція однієї змінної y=f(x) в околі точки х₀ (n+1) -раз диференційована, тоді має місце Формула Тейлора:

, (8.1)

де R_n(x) називається залишковим членом формули Тейлора. Для R_n(x) Лагранжем було встановлено, що

,

де С знаходиться в інтервалі (x₀,x), якщо x₀<x, або , якщо x<x₀, скорочено .

Користуючись формулами диференціалів, запишемо:

,

,

..........................................

,

Покладемо також

,

де .

Тоді формула Тейлора (8.1) прийме вигляд:

(8.2)

де .

Формулу (8.2) можна узагальнити для функцій двох змінних, якщо припустити, що функція z=f(x,y), або скорочено z=f(M), має в околі точки M₀(x₀ ,y₀ ) (n+1) неперевну мішану частинну похідну по х і у. Тоді можна записати:

, (8.3)

де , , .

Щоб записати формулу (8.3) в розгорнутому вигляді, необхідно скористатись формулами (7.1), (7.2), (7.3) і т.п.

Дотична площина і нормаль до поверхні.