Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются выражения вида , где – число нового рода, называемое мнимой единицей. Число а называется действительной частью числа , а число b– мнимой частью z. Считают, что , поэтому всякое действительное число есть комплексное число, т.е. .

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда . Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Действия над комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел производится следующим образом: .

Например, .

2. Произведение комплексных чисел:

.

Заметим, что .

Тогда .

3. Деление комплексных чисел.

Частное от деления числа на себя равно единице.

Нетрудно проверить, что деление есть действие, обратное умножению.

Числа вида и называются комплексно-сопряженными, их произведение, равное ,– действительное число.

Всякое комплексное число можно изобразить точкой на координатной плоскости , при этом плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью; ось абсцисс Ox называется действительной осью, т.к. на этой оси лежат лишь действительные числа ; ось ординат Oy – мнимой осью.

Длина вектора (рис.6) называется модулем комплексного числа , т.е. . (1)

Величина угла между положительным направлением оси Ox и вектором называется аргументом этого комплексного числа, пишут . Аргумент числа не существует.

Главное значение аргумента числа z есть его аргумент из промежутка , обозначают .

Из решения прямоугольного треугольника или получим:

, (2)

. (3)

В силу формул 1-3 получим следующую запись комплексного числа:

. (4)

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа, а запись называется алгебраической формой комплексного числа.

Пример. Представить комплексное число в тригонометрической форме.

Решение: , то ,

. Значит .

Date: 2015-12-10; view: 348; Нарушение авторских прав