Алгебраическая операция

Напомним известное из школьного курса анализа определение. Отображением f множестваX в множество Y называется соответствие, при котором каждому элементу соответствует не более одного элемента , пишут . Отображение называется также функцией. Если область значений отображения , то отображение называется отображением X на Y.

Отображения могут задавать алгебраические операции (композиции).

Алгебраической операцией на множестве A (внутренним законом композиции) называется отображение прямого произведения во множество A.

Например, сложение векторов на множестве векторов является внутренним законом композиции, т.к. сумма двух векторов из есть вектор этого множества.

Внешней алгебраической операцией (внешним законом композиции) на множествах A и B называется отображение прямого произведения на множество C.

Например, умножение вектора на число есть внешняя алгебраическая операция:

В математике чаще используются операции сложения, обозначаемые «+», и операции умножения, обозначаемые «•». В общем случае алгебраические операции будем обозначать символом или •. Операцию «+» называют аддитивной, a «•»- мультипликативной.

Алгебраическая операция «» называется коммутативной на множестве A, если для любых элементов a и b из A выполняется равенство: . Например, сложение натуральных (действительных) чисел коммутативно.

Алгебраическая операция * называется ассоциативной на множестве A, если для любых элементов a,b и c из A в ыполняется равенство: .

Если алгебраическая операция коммутативна и ассоциативна, то в выражениях: результат действия не зависит от порядка сомножителей.

Пусть на A определены две алгебраические операции, обозначаемые и •, тогда операция называется дистрибутивной относительно •, если для любых элементов a,b,c из A выполняется равенство: .

Левым нейтральным элементом операции называется такой элемент множества A,если для любого имеет место: . Аналогично определяется правый нейтральный элемент: .

Если , то его называют нейтральным элементом, обозначают , и .

Элемент называют обратным (симметричным) к элементу a относительно операции , если .

Пусть на множествах A и B определены алгебраические операции и • соответственно, то взаимнооднозначное отображение называется изоморфизмом, если для всяких и из A имеет место .

Date: 2015-12-10; view: 432; Нарушение авторских прав