Матрицы. Определитель матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, числа называются элементами матрицы, например,

, .

Элементы – элементы главной диагонали; более сокращенно , где , – элемент -ой строки и -го столбца.

Число строк и число столбцов определяют размерность матрицы: пишут . Если число строк равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной (такого-то порядка), например, матрица В – матрица 3-го порядка.

Для квадратных матриц вводится понятие определителя, обозначают определитель матрицы А так: или заключают матрицу А в прямые скобки.

Приведем определение определителя матрицы: пусть дана матрица порядка n. Обозначим через определитель матрицы порядка n -1, полученный из матрицы А вычеркиванием -ой строки и -го столбца; называют минором элемента . Тогда по определению считается

, (1)

– алгебраическое дополнение элемента , тогда

. (2)

Для вычисления определителя применяется разложение определителя по строке или столбцу:

, (3)

. (4)

Способ вычисления по формуле (3) называется разложением по -ой строке, (4) – разложение определителя по -му столбцу. Формулы (3), (4) обоснуем позже.

В силу этих формул, имеем:

1) ,

2) ,

3) .

Далее, вычислив определители второго порядка, получим (5)

Формулу (5) называют формулой Саррюса.

Если det = 0, то матрицу называют вырожденной, в противном случае – невырожденной.