Линейные операции над матрицами

Задача. Найти сумму матриц и , и произведение матрицы А на число .

Решение: при сложении двух матриц к каждому элементу первой матрицы требуется прибавить элемент второй матрицы из той же строки и того же столбца, что и элемент первой матрицы. Очевидно, что сумма матриц определяется лишь для матриц одинаковой размерности.

Значит .

При умножении матрицы на каждый её элемент умножается на , т.е. .

Свойства (обосновать самостоятельно):

1) ,

2) ,т.е. сложение матриц ассоциативно,

3) , т.е. сложение матриц коммутативно,

4) ,

5) ,

6)

Пусть даны матрицы , и , где . Тогда , где , причем

(1)

Заметим, что определено лишь тогда, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.

В качестве примера найдем произведение матрицы на матрицу .

Свойства:

1) , т.е. произведение матриц ассоциативно,

2) – дистрибутивность умножения матриц относительно сложения,

3) – определитель произведения матриц n-го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Замена строк матрицы её столбцами называется транспонированием матрицы, обозначают . Например, если , то .

Свойства:

1) , 2)

3) , 4) ,

5) .

Квадратная матрица , у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Частным случаем диагональной матрицы является единичная матрица

Используя определение матрицы, легко проверить, что определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: det