Стандартная задача. Случайная величина X распределена по нормальному закону

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М (x) = 5; Д (x) = 0,64.

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале

(4, 7).

1. Условие задачи

а) X – случайная величина

б) X распределена по нормальном___у закону по условию задачи.

в) М (x) = 5, Д (x) = 0,64, σ (x) = √ 0,64 = 0,8, α = 4, β = 7.

г) Определить вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4; 7).

Р (4 < x < 7) -?

3. Решение задачи _ β-а _ _α-а_

а) Р (α < x < β) = Ф (σ) – Ф (σ)

_ 7-5 _ _ 4-5 _

Р (4 < x < 7) = Ф (0,8) - Ф (0,8) = Ф (2,5) – Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25) =

= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

3. Ответ задачи

а) Р (4 < x < 7) ≈ 0,89

б) Вероятность попадания случайной величины X, имеющей математическое ожидание М (x) = 5 в интервал (4; 7) равна 0,89, этот ответ удовлетворяет реальным условиям задачи, т.к. действительно большая часть значений случайной величины группируется около среднего значения М (x) = 5.

Литература

1. А. И. Карасева, З. М. Аксютина, Т. И. Савельева. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982, стр. 71-76.

Задачи

12.1. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М (x) = 25, среднее квадратическое отклонение σ (x) = 4. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (17; 31).

12.2. В государственную племенную книгу записывают коров с годовым удоем не менее 4200 кг. Для одного массива коров имеем средний удой 3000 кг и среднее квадратическое отклонение удоя молока 800 кг. Какой процент коров этого массива попадет в государственную племенную книгу, если считать, что случайная величина X - удой молока, подчинена нормальному закону.

12.3. Какова вероятность того, что на участке леса со средней высотой деревьев, равной 9 м и стандартным отклонением, равным 0,5 м, высота деревьев колеблется от 8 до 10 м, если высота деревьев подчинена нормальному закону?

12.4. В партии яиц средняя масса яиц равна 59 г, среднее квадратичное отклонение равно 6 г. Считая, что вес яиц распределяется по нормальному закону, определить процент яиц, Идущих в заготовку, если в заготовку принимают от 50 до 65 г.

12.5. Средняя длина рыбы 30 см. 30 % всей вылавливаемой рыбы имеют длину от 26 см до 30 см. Какой процент рыб имеют длину, превышающую 35 см, если принять, что случайная величина X – длина рыбы – подчинена нормальному закону.

12.6. Средняя высота деревьев в роще равна 12 метров. Определить, исходя из предположения, что высота деревьев распределяется по нормальному закону, какой процент деревьев рощи имеет высоту, превышающую 15 м, если деревья высота которых не достигает 10 м, составляет 15 %.

12.7. Исходя из предположения, что размеры рыбы подчиняется нормальному закону распределения, определить, какой процент из них отклоняется от среднего более, чем на 8 см, если 70 % отклоняется от него на 5 см и менее.

12.8. 5 5 всех яблок из данной партии отклоняется от среднего веса яблок (120 г) более, чем на 20 г. Считая, что распределение веса яблок подчиняется нормальному закону, найти, какой процент яблок имеет вес в пределах от 100 до 130 г.