Стандартная задача

На склад поступили изделия из двух цехов: 60 % из первого и 40 % из второго. Среди изделий первого цеха брак составляет 0,05 %, второго 0,2 %. Найти вероятность того, что взятое из склада изделие окажется годным.

1. Условия задачи

а) А₁ - изделие принадлежит 1-му цеху.

А₂ - изделие 2-го цеха.

б) Эти события образуют полную группу, т.к. они единственно-возможные и несовместимые для данного испытания.

в) Т.к. поступило на склад 60 % изделий из первого цеха, то вероятность, что изделие принадлежит 1-му цеху

_ 60 %_

Р (А₁) = 100 % = 0,6

Аналогично _ 40 %_

Р (А₂) = 100 % = 0,4.

г) А - событие, что взятое из склада изделие окажется годным.

д) Событие А может произойти только одновременно с событиями А₁ или А_2, т.к. годная деталь может принадлежать только 1-му или 2-му цехам.

е) Т.к. бракованных деталей у первого цеха 0,05 %, то не бракованных 100 % - 0,05 % = 99,95 %, тогда вероятность того, что годная деталь изготовлена в первом цехе, будет равна:

_ 99,95 %_

Р_А1(А) = 100 % = 0,9995

Аналогично для второго цеха процент годных деталей составит

100 % - 0,2 % = 99,8 %, а вероятность того, что годная деталь изготовлена во втором цехе

_ 99,8 %_

Р_А2(А) = 100 % = 0,998

ж) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие будет годным:

Р (А) -?

2. Решение задачи:

а) Т.к. условие задачи удовлетворяет теореме о полной вероятности, то используем формулу полной вероятности.

Р (А) = Р (А₁) · Р_А1(А) + Р (А₂) · Р_А2(А)

б) Р (А) = 0,6 · 0,9995 + 0,4 · 0,998 = 0,5997 + 0,3992 = 0.9989.

3. Ответ: Вероятность того, что взятое из склада изделие окажется годным равна Р (А) 0,9989.

Литература

1. А. И. Карасева, З. М. Аксютина, Т. И. Савельева. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982, стр. 17-19.

Задачи

7.1. В водоёме обитают особи 2-х близких видов, причём особи первого вида составляют 70 % всей популяции, особи второго вида 30 %. На каждые 100 особей первого вида приходится в среднем 65 самцов, а на 100 особей второго вида - 55 самцов. Какова вероятность того, что первая же особь, выловленная из водоёма, окажется самцом?

7. 2. Имеются 2 одинаковых на вид ящика с картофелем. В первом ящике находится 70 % сорта «Синеглазка» и 30 % сорта «Белорусская ранняя», а во втором ящике _ 50 % сорта «Синеглазка». Берется наугад из любого ящика клубень картофеля. Какова вероятность того, что взятый наугад клубень будет сорта «Синеглазка»?

7. 3. Известно, что в партии из 1000 ампул с новокаином 400 ампул изготовлено на одном заводе, 350 ампул - на втором заводе и 250 - третьем заводе. Известны вероятности 0,75, 0,80 и 0,85 того, что ампула окажется без дефекта при изготовлении её соответственно первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная ампула окажется без дефекта.

7. 4. В первом ящике содержится 20 деталей из них 15 стандартные; во втором – 30 деталей, из них 24 стандаотные; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

7. 5. На складе магазина находится 1000 телевизоров, поступивших из двух фирм. Доли поступившей аппаратуры с дефектом составляют соответственно 1/5 и ¼ для каждой из фирм. Выбирают случайным образом один телевизор. Какова вероятность, что он окажется с дефектом?

7. 6. Имеется 12 саженцев сорта 1, 20 - сорта 2, 18 саженцев сорта 3. Вероятность того, что саженец первого сорта примется, равна 0,9, а для саженцев сорта 2 и 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что наугад взятый саженец примется. Найти вероятность, что это саженец первого сорта.

7. 7. Имеется 5 агрегатов. Вероятность бесперебойной работы в течение дня для трёх из них равна 0,8, а для двух других 0,7. Найти вероятность того, что наугад взятый агрегат в течение дня не выйдет из строя.

7. 8. Имеются 4 урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во 2ой – 2 белых и 3 черных шара, в 3ей – 3 белых и 5 черных шара. Событие Hi – выбор i–ой урны. Известно, что выбор i–ой урны P (Hi) = i/10. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее один шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

7. 9. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором 10 белых и 10 черных, а в третьем 20 черных. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из 1ого ящика.

7. 10. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: 1- 15, 2 – 10, а 3 – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит 2 организации.

7. 11. В магазин поступает одна и также продукция от 3х предприятий: от 1ого – 20 изделий, от второго – 10 и от третьего – 70. Вероятность некачественного изготовления изделия на предприятиях равны: 0,02; 0,03; 0,05. Найти вероятность получения некачественного изделия. Какова вероятность, что это изделие третьего предприятия?