Высказывания

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания».

Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний:

1) Умение грамотно использовать логические операции повышает эффективность программирования.

2) История логики насчитывает около двух с половиной тысячелетий.

3) Знание математической логики необходимо любому специалисту.

4) Математическая логика – увлекательная наука.

5) Х>5.

6) Была метель.

7) Он - программист

Предложения 1), 2) истинные высказывания, а 3) ложно. Предложения 5), 6), 7) – не являются высказываниями, так как не понятно истинны они или ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если …, то …», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

Примеры:

1) Все программисты имеют высшее или среднее специальное образование.

2) Если программист не имеет специального образования, то он не будет конкурентно способен на рынке труда.

4.2.2 Логические операции над высказываниями.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х». Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы:

Таблицы такого вида принято называть ТАБЛИЦАМИ ИСТИННОСТИ.

Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно (т.е. в остальных случаях).

Конъюнкция высказываний x, y обозначается символом x&y или (xÙy), читается «x и y».

Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом х Ú у, читается «х или у». Высказывания х, у называются членами дизъюнкции. Все возможные логические значения дизъюнкции двух высказываний х и у описываются следующей таблицей истинности:

Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у – ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний x,y обозначается символом (или ), читается “если х, то y”или ”из х следует y”.

x	y	x y

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний x,y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания x,y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. И ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний x,y обозначается символом (или , реже ~), читается “ для того, чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y”, или “ х тогда и только тогда, когда у”.