Повторение опытов

На практике часто приходиться встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появитсья некоторое событие А. Тогда експериментатора интересует не результат каждого отдельного опыта, о общее число появлений события А в результате серии испытаний. В таких задачах требуется определить вероятность любого заданого числа появлений события А в результате серии испытаний. Такие задачи решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты или игральной кости представляют независимые опыты. Несколько последовательных выниманий карты из колоды представляют независимые опыты, если карта каждый раз возвращается в колоду и колода тщательно перемешивается, в противном случае опыты зависимые.

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью p появляется событие А, то вероятность Р_m,n того, что событие А произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

; (m=0, 1, …, n),

где q=1-p.

Вероятность хотя бы одного появления события А в n независимых опытах равна:

Вероятность того, что при n опытах событие А появится не менее m раз, выражается формулой:

, или .

Задача 1.16. Вероятность размещения заказа на производство продукции на данном заводе равна 0.6. Какова вероятность получить 3 заказа из 5?

А – получение заказа;

,

.

Если , а , то применяется формула Пуассона:

,

где

Задача 1.17. По каналу связи передается ложный сигнал в одном из ста случаев. Какова вероятность появления 5 ошибок при передаче 200 независимых сигналов?

А – появление ложного сигнала;

.

При большом числе опытов можно применять приближенные формулы Лапласа:

- локальную

где ,

- интегральную

где

.

Функции и табулированы, причем ;

, .

Задача 1.18. Вероятность отклонения температуры в реакторе от номинальной равна 0.2 при каждом замере. Произведено 400 замеров. Найти вероятность того, что:

а) в 50 замерах будет отклонение от номинальной температуры;

б) отклонение температуры будет не менее, чем в 50 замерах и не более чем в 80 замерах.

А – появление отклонения температуры;

а)

.

б)