Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез(или формулы Бейеса)

Теорема гипотез предусматривает следующую постановку задачи. Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂,..., Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соответственно равны Р(Н₁), Р(Н₂), …, Р(Н_n). Произведен опыт, в результате которого появилось некоторое событие А. Требуется определить, как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением этого события.

В этой задаче речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н_і/А) для каждой гипотезы:

, (і=1, 2, 3, …n).

Задача 1.15. В ящике находится три детали. Наугад вынимается одна деталь. Она оказалась годной. Найти вероятность того, что все детали окажутся годными.

А – появление годной детали,

Н₁ – в ящике все детали годные,

Н₂ – в ящике все детали бракованные,

Н₃ – 1 годная и 2 бракованные,

Н₄ – 2 годные и одна бракованная.

До опыта все гипотезы равновероятны, поэтому:

Требуется переоценить гипотезу Н₁ после появления годной детали. Для этого применяется формула Байеса:

А/Н₁ – появление годной детали при условии, что все детали в ящике годные:

.

А/Н₂ – появление годной детали, при условии, что в ящике все детали бракованные:

.

А/Н₃ – появление годной детали при условии, что в ящике 1 годная и 2 бракованные детали:

.

А/Н₄ – появление годной детали при условии, что в ящике 2 годные и 1 бракованная деталь:

,

.