Функция затрат

Анализ затрат в производственных системах играет важную роль в принятии управленческих решений. При выборе оптимального варианта производства продукции нужно сравнивать возможные альтернативы и выбирать решение, которое обеспечивает минимальные затраты при заданном выпуске производимой продукции или максимальный выпуск продукции при заданном уровне используемых ресурсов.

Известно, что эти две задачи: максимизации выпуска при фиксированной полной стоимости ресурсов и минимизации полной стоимости ресурсов при фиксированном уровне выпуска – имеют одинаковое решение и называются двойственными. Рассмотрим первую задачу, введя понятие функции затрат производственной системы.

Функция затрат равна минимальной полной стоимости набора ресурсов, необходимого для выпуска заданного количества продукта. Пусть производственная система задана производственной функцией . Кроме того, известны объём платёжных средств производителя С и цены единицы труда и капитала r. Будем предполагать, что цены единицы труда и капитала определены рынком ресурсов и являются постоянными величинами. Для нахождения функции затрат необходимо решить задачу оптимизации:

;

где и – положительные постоянные, а K и L необходимо определить.

Задача может быть решена методом множителей Лагранжа, для чего построим функцию Лагранжа и приравняем её частные производные по и к нулю:

;

;

;

.

Решая эту систему из трёх уравнений с тремя неизвестными и , найдём оптимальный набор факторов производства наименьшей полной стоимостью, который обеспечивает выпуск заданного количества продукта .

Вычислим функцию затрат для частного случая производственной системы, которая описывается производственной функцией Кобба-Дугласа.

Пусть задано бюджетное ограничение, которое определяется полной стоимостью набора ресурсов и ценами единицы труда и единицы капитала

.

Это и есть затраты экономической системы, необходимые для производства фиксированного уровня получаемого продукта.

Определим величину как отношение стоимости капитала к полной стоимости капитала и труда:

.

Тогда, при заданном имеем соотношения для затрат капитала и труда:

и ,

где и – это максимальное количество капитала и труда, которое можно приобрести на сумму по ценам и соответственно.

При изменении величины стоимость набора ресурсов остаётся постоянной, а количество получаемого продукта изменяется и может быть определено по формуле

.

Найдём значение величины , при котором выпуск продукции достигает максимума. В этой точке производная производственной функции обращается в нуль.

.

Таким образом, точка оптимального выпуска задаётся отношением стоимости капитала к полной стоимости потребляемых ресурсов равным ().

Количество максимально возможного выпуска при этом будет равно (при фиксированных затратах С)

,

Функцию затрат в этом случае представим как минимальные средние затраты на единицу выпускаемого продукта, разделив на :

.

Следует обратить внимание, что функция затрат определяется ценами единицы труда и капитала, которые определяются состоянием рынка ресурсов производства и являются экзогенными величинами, заданными внешней экономической средой.

В заключение отметим, что в нашем случае мы выписали функцию затрат лишь для частного случая производственной функции – функции Кобба-Дугласа. Для других производственных функций функции затрат будут другими. Каждой производственной функции соответствует своя функция затрат.