Производственная функция Кобба-Дугласа

Будем считать, что для рассматриваемой экономической системы определён частный случай производственной функции – производственная функция Кобба-Дугласа, которая имеет вид

Y = C K L^1- , (3.5)

где С – масштабный множитель.

Легко показать, что эта функция удовлетворяет всем свойствам неоклассической производственной функции, – коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0 < < 1), а (1– ) – по труду.

Рассмотрим основные показатели эффективности производства производственной функции Кобба-Дугласа.

Средняя фондоотдача и средняя производительность труда определятся из соотношений

Ay_K = Y/K = C (L/K)^1- , Ay_L = Y/L = C (K/L) . (3.6)

Предельная фондоотдача и предельная производительность труда определяются из соотношений

Мy_k = Y/ K = C K ^-1L^1- = C (L/K)^1- ; (3.7)

Мy_L = Y/ L = (1- )C K L^- = (1– ) C (K/L) . (3.8)

Из (3.7) и (3.8) следует, что

Мy_k = Ay_k, Мy_l = (1– ) Ay_L.

С учётом 0 < < 1 видим, что (как и в общем случае) предельный продукт фактора всегда меньше среднего (закон убывающей эффективности факторов).

Эластичность выпуска по капиталу и труду определяется из соотношений

= Мy_k / Ay_k, 1– = Мy_L / Ay_L. (3.9)

Изменение выпуска производимого продукта при одновременном изменении объёмов затрачиваемых факторов определится из соотношения

Y(K+ K,L+ L) Y + (Y/K) K + (1– ) (Y/L) L. (3.10)

Пример 3.1. Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа. За период времени системой было произведено 100 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что = 0,75.

1. Записать производственную функцию Кобба-Дугласа.

2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единиц капитала?

3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала

4. Определить предельные продукты труда и капитала.

5. Проверить вычислениями равенства (3.10).

Решение

1. Подставим в (3.5) исходные данные: 100 = С*40^0.75*20^0.25. После вычислений получим: 100 = С*33,64 или С = 100/33,64 = 2,973. Окончательно имеем: Y = 2,973 K^0,75L^0,25.

2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные: Y = 2,973*50^0,75*25^0,25 = 125. Таким образом, системой при новых данных будет произведено 125 единиц продукта.

3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (3.6). Ay_K = 100/40 = 2,5. И Ay_K = 2,973* (20/40)^0,25 = 2,5;

Ay_L = 100/20 = 5. И Ay_L = 2,973*(40/20)^0,75 = 5.

Как видим, проверяемые равенства выполняются точно, если при вычислениях не производить округления.

4. Рассчитаем предельный продукт капитала: Мy_K = C (L/K)^1- = 0,75*2,973*(20/40)^0,25 = 1,875. Получили, что действительно Мy_K = Ay_k (Мy_k = 0,75*2,5 = 1,875).

Аналогично предельный продукт труда Мy_L = (1– ) C (K/L) = 0,25*2,973*2^0,75 = 1,25 или Мy_L =(1– ) Ay_L = 0,25*5 = 1,25.

Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.

Средний продукт капитала, равный 2,5, означает, что в рассматриваемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,5 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 1,875, означает, что в экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 1,875 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.

5. Пусть левая часть выражения (3.10) – это выпуск, подсчитанный в п. 7.2 при K = 10, а L = 5. Подсчитаем правую часть выражения (3.10):

Y + (Y/K) K + (1– ) (Y/L) L = 100 + 0,75*(100/40)*10 + 0,25* (100/20)*5 = 125. Как видим, равенство выполнено точно.