Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Алгоритм Евклида





1-й шаг. Делим а на b 0. Если а b, то (а, b) = b по лемме 8.2. Если а = bq0 + r1, то (а, b) = (b, r1).

2-й шаг. Делим b на r1. Если b r1 , то (b, r1) = r1. Если b = r1q1 + r2, то (b, r1) = (r1, r2).

3-й шаг. Делим r1 на r2 b и т.д.

Лемма 8.4.Алгоритм Евклида состоит из конечного числа шагов.

Действительно, остатки, получаемые в процессе деления убывают и являются натуральными числами | b | < r1 < r2 < …, поэтому не более, чем за | b | шагов получим остаток равный нулю, т.е. (rn-1, rn) = rn и тогда (rn-1, rn) = rn.

Теорема 8.5 (о нахождении НОД(а, b) с помощью алгоритма Евклида).Последнийотличный от нуля остаток валгоритме Евклида является наибольшим общим делителем целых чисел а и b (а 0, b 0).

Доказательство. Применим к числам a и b алгоритм Евклида:

а = bq0 + r1, 0 r1 < b

b = r1q + r2, 0 r2 < r1

………………………….

rn-2 = rn-1 ∙ qn-1 + rn, 0 rn < rn-1

rn-1 = rn ∙ qn + 0

Из первого равенства по лемме 8.3 будем иметь (а, b) = (b, r1). Из второго равенства алгоритма Евклида по лемме 8.3 будем иметь: (b, r1) = (r1, r2) и т.д.

Из последнего равенства (rn-1, rn) = rn.

Итак, (а, b) = rn.

Пример.ВычислимНОД (154, 48) с помощью алгоритма Евклида.

_ 154 | 48

144 3

_ 48 | 10

40 4

_10 | 8

8 1

_ 8 | 2

8 4

Процесс деления можно записывать в виде последовательности равенств деления с остатком, называемой последовательностью Евклида.

154 = 48 ∙ 3 + 10

48 = 10 ∙ 4 +8

10 = 8 ∙ 1 + 2

8 = 2 ∙ 4

Итак, НОД (154, 48) = 2.

Следствие 1 (о линейном разложении НОД(a, b)).Наибольший общий делитель НОД(a, b) любых целых чисел a 0, b 0 можно представить в виде линейной комбинации чисел a и b c целыми коэффициентами u и v: НОД(a, b) = u ∙ a + v ∙ b (1)

Определение 8.3.Представление (1) называется линейным разложением наибольшего общего делителя чисел a и b.

Пример. Найдем линейное представление НОД(154, 48). Воспользуемся последовательностью Евклида из предыдущего примера, выразим остатки: 2 = 10 + 8 ∙ (-1), 8 = 48 + 10 ∙ (-4), 10 = 154 + 48 ∙ (-3). Подставим в первое равенство выражение 8 из второго, затем для 10 из третьего, получаем: 2 = 10 + [48 + 10∙ (-4)] ∙ (-1) = 48 ∙ (-1) + 10 ∙ 5 = 48 ∙ (-1) + [154 + 48 ∙ (-3)] ∙ 5 = 154 ∙ 5 + 48 ∙ (-16).



Итак, 154 ∙ 5 + 48 ∙ (-16) = 2 – линейное разложение (154, 48).






Date: 2015-10-18; view: 165; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.004 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию