Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами

Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f (x) Q [ x ] (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f (x) Z [ x ] (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.

Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.

Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если – рациональный корень многочлена f(x) = a_n × xⁿ+ + …+ a₁ × x + a₀ сцелымикоэффициентами, причем (p, q) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а₀, а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а₀.

Теорема 6.2. Если Q ( где ( p, q ) = 1 ) является рациональным корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то – целые числа.

Пример. Найтивсе рациональные корнимногочлена

f (x) = 6 x⁴ + x³ + 2 x² – 4 х+ 1.

1. По теореме 6.1: если – рациональный корень многочлена f (x ), ( где(p, q) = 1 ), то a₀ = 1 p, a_n = 6 q. Поэтому p { 1}, q {1, 2, 3, 6}, значит,

.

2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f (x) тогда и только тогда, когда f (x) делится на (х – а).

Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f (x) можно воспользоваться схемой Горнера:

f (1) = 6 0, f (–1) = 12 0, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочлена f (x).

3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел , воспользуемся теоремой 6.2. Если выражения или принимает целые значения для соответствующих значений числителя p и знаменателя q, то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.

=	ц	ц	ц	др	др	др
=	ц	ц	ц	ц	др	др

4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа корнями f (x). Вначале разделим f (x) на (х – ).

				– 4
				–2

В результате имеем: f (x) = (х – )(6 x³ + 4 x² + 4 х – 2) и – корень f (x). Частное q (x) = 6 x³ + 4 x² + 4 х – 2 разделим на (х + ).

				– 4
–		–2		–5	3

Так как q (– ) = 3 0, то (– ) не является корнем многочлена q (x), а значит и многочлена f (x).

Наконец, разделим многочлен q (x) = 6 x³ + 4 x² + + 4 х – 2 на (х – ).

				– 4
				–3

Получили: q () = 0, т.е. – корень q (x), а значит, – корень f (x). Таким образом, многочлен f (x) имеет два рациональных корня: и .