Отношение делимости в кольце Z и его свойства

Определение. 7.1. Целое число а делится на целое число b 0, если

q Z а = bq.

Обозначается а b и читается “ a делится на b ”, а также b | a и читается “ b делит а ”.

а – делимое, b – делитель, q – частное.

Используется и другое обозначение:

Свойства:

1⁰. Отношение делимости рефлексивно на множестве ненулевых целых чисел (т.е. а Z \ {0} а а), т. к. 1 Z: а = а · 1.

2⁰ Отношение делимости транзитивно на множестве целых чисел:

(т.е. а, b, c Z а b b c a c), т.к. (а b) q₁ Z: а = bq₁, кроме того, (b c) q₂ Z: b= cq₂ а = cq₂q₁ = cq₂ (а c).

3⁰ Отношение делимости не антисимметрично на множестве целых чисел, т.к. а, b Z (а b b а) [(a = b) (a = - b)].

4⁰ Отношение делимости антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. а, b N а b b а а = b), т.к. если b = a × n, a = b × m, то m, n Î N, и b = (b× m) × n = = b× (m × n), т.е. m × n = 1, и m = n = 1, а значит, а = b.

Следовательно, отношение делимости не является отношением эквивалентности, а будет отношением частичного порядка на множестве N.

5⁰. Если a b, то для любого ненулевого целого c выполнено aс b.

Действительно, если a b, то b= a × q для некоторого целого q, тогда

b× c = a× (q× c), следовательно, aс b

6⁰. Если a b, то (± a) (± b) при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.

Свойство 6⁰ является следствием свойства 5⁰ и определения делимости.

7⁰. Если a b₁, …, b_n a, то (b₁ + … + b_n) a.

8 ⁰. Если b₁ a, …, b_n a, то для любых целых r₁ , …, r_n выполнено a (b₁ × r₁ + …+ b_n × r_n ) a.

Свойство 8 ⁰ является следствием свойств 6⁰ и 7⁰.

Замечание 1. Запись означает, что а не делится на b.

Определение. 7.2. Целое число а делится на b Z, b 0 с остатком, если q, r Z: а = bq + r, где 0 < r < | b |, a – делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток.

Замечание 2. Из определения следует, что остаток всегда число неотрицательное.

Примеры. Разделить с остатком а на b, если: а) при а = 53 на b= 5, получим: 53 = 5 · 10 + 3 (т.е. неполное частное q = 10, остаток r = 3).

б ) при а = -53 на b = 5, получим: -53 = 5 · (-11) + 2 (q = -11, r = 2)

в) при а= -53 на b = – 5, получим: -53 = -5 · 11 + 2.

г ) при а = 53 на b = – 5, получим: 53 = (-5) · (-10) + 3.

Теорема 7.1 (о делении с остатком). Для любых целых чисел a, b 0 однозначно определены частное q и остаток r от деления a на b т.е.

" a Î Z " b Î Z \ {0} $! q, r Î Z a = bq + r Ù 0 r < |b|).

Доказательство.

I. Покажем возможность деления.

1. Пусть a 0, b > 0. Докажем существование деления с остатком числа a на число b методом математической индукции по числу a.

a) Если a = 0, то 0 = b× 0 + 0 (имеем: q = 0, r = 0) и в этой ситуации возможность деления с остатком показано.

б) Пусть а > 0 и bq – наибольшее кратное числа b, которое не превосходит а, тогда bq a< b (q + 1), следовательно, 0 a – bq < b или 0 a – bq < | b |.

Положим, что а – bq = r, тогда получим что, а = bq + r, где 0 r | b |.

Итак, для неотрицательных целых чисел a и b существование деления с остатком доказано.

2. Пусть a > 0, b < 0. Тогда |b| > 0 и согласно п.1 существует формула деления с остатком для положительного числа а на положительное число | b |, поэтому a = | b |× q + r, где 0 r | b |. Тогда a = b × (– q) + r – искомая формула деления с остатком а на b.

3. Пусть a < 0, b > 0, тогда (– а) > 0 и согласно п.1 (– a) = b× q + r, где 0 r < | b |. При r = 0 данная формула принимает вид: а = b× (– q) + 0. При r > 0 имеем a = b× (– q) – r = b× (– q – 1) + (b – r), причём 0 < b – r < b, или 0 < b – r < | b | т.е. (– q – 1), (b – r) – искомые частное и остаток соответственно.

4. Пусть a < 0, b < 0. Тогда (–b) > 0 и согласно п.3 существует формула деления с остатком для отрицательного числа а на положительное число (– b), поэтому a = (– b) × q^′ + r^′, где 0 r^′ | b | (согласно п. 3 имеем: q^′= (– q – 1), r ^′ = (b – r)) или a = b × (– q^′ ) + r^′,

II. Докажем единственность существования частного и остатка от деления а на b.

Предположим противное.

Пусть a = bq₁+ r₁, 0 r₁<| b| и a = bq₂ + r₂, 0 r₂< |b|. Тогда

b (q₁ – q₂) = (r₁ – r₂) < | b | (r₁ – r₂) b, а т. к. 0 | r₁ – r₂ | < | b |

(r₁ – r₂) = 0 (r₂ = r₁) b (q₁ – q₂) = 0, b 0 q₁ = q₂.

МЕТОДИКА 17. Тема урока: «Делители и кратные».

Обучающие цели: ввести понятие делителя и кратного натурального числа; отрабатывать умение находить делители и кратные данного натурального числа.

Развивающие цели: развитие мышления, совершенствование устных и письменных вычислительных навыков, развитие математической речи учащихся.

Воспитательные цели: воспитание интереса к математике, воспитание таких качеств личности как аккуратность, последовательность, настойчивость и т.д.

Тип урока: урок изучения нового материала.