НОК целых чисел и его вычисление

Определение 8.4. Общим кратным конечного множества целых чисел a₁, a₂, …, a_k, отличных от нуля, называют целое число m, которое делится на все числа а_i (i = 1, 2, …, k).

Определение 8.5. Целое число m называется наименьшим общим кратным чисел a₁, a₂, …, а_k, отличных от нуля, если:

1. m – является их общим кратным;

2. m делит любое другое общее кратное этих чисел.

Обозначение: m = НОК(a₁, a₂, …, а_k) или m = [ a₁, a₂, …, а_k ].

Теорема 8.6. Наименьшее общее кратное целых чисел а и b определяется однозначно с точностью до знака.

Действительно, если предположить, что m₁ = [ a, b ] m₂ = [ a, b ], то m₁ m₂ m₂ m₁, поэтому m₁ = m₂ m₂ = - m₁.

Замечание. Обычно берется положительное значение [ a, b ].

Пример. Даны числа 3, 4, 6, 8. Числа 24, 48, 96 являются общими кратными чисел 3, 4, 6, 8. Наименьшим общим кратным будет число 24. [24, 48, 96] = 24.

Между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух целых чисел существует зависимость, которая выражается формулой:

[ a, b ] =

Эта связь позволяет утверждать, что для любой пары целых чисел, отличных от нуля, существует наименьшее общее кратное.

Пример. 1.Вычислим НОК [154, 48] = = 3696.

2. Наиболее просто НОД двух целых чисел вычисляется в том случае, когда (а, b) = 1, тогда [a, b] = = | a ∙ b |. Например,

[21, 5] = = 105.