Канонического разложения

Из основной теоремы арифметики (см п. 9) следует, что составное число n можно представить в виде: n = , где p_i – различные простые числа (i {1, 2, …, k }). Такое представление числа n называется каноническим разложением.

Теорема 8.7. Если а = и b = , то (а, b) = , где = min

[ а, b ] = , где = max .

Пример. Найти НОД(а, b) и НОК [ a, b ], используя каноническое разложение, если

a = 18, b = 42.

18 = 2 ∙ 3² 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

(18, 42) = 2 ∙ 3 = 6. [18, 42] = 2 ∙ 3² ∙ 7 = 126.

МЕТОДИКА 18. Тема: «Наибольший общий делитель чисел»

Данная тема изучается в 6 классе (числовая линия), отводится 3-4 часа.

Ранее изученный материал, необходимый для изучения данной темы: делители и кратные, простые и составные числа, разложение на простые множители. Применение: сокращение дробей, при решении показательных уравнений.

Основные понятия темы: Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется наибольшим общим делителем этих чисел.

Натуральные числа называются взаимно простыми, если их НОД равен единице.

Алгоритм нахождения НОД:

1. Разложить числа на простые множители.

2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.

3. Найти произведение оставшихся множителей.

Методы (приемы) создания мотивации учебной деятельности:

1. Разнообразные виды деятельности.

2. Яркость и эмоциональность изложения материала.

3. Подбор посильных заданий, создание условий для выбора задач разного уровня сложности и возможность скорректировать этот выбор в случае неудачи или успеха.

Фрагмент урока на этапе ознакомления с новым материалом

Тип урока: изучения нового материала

Цели изучения:

обучающие: сформировать понятие НОД, алгоритмы его нахождения, научить правильно воспроизводить термины и правила, приводить примеры, формировать умения применять полученные знания при решении задач;

развивающие: развивать познавательные процессы, математическое мышление, восприятие, развивать устную и письменную речь;

воспитательные: способствовать воспитанию интереса к математике и учебной деятельности, воспитание отдельных качеств личности.

Содержание урока:

7. Организационный момент (2-3 мин)

8. Актуализация знаний (6-7 мин)

9. Изучение нового материала (13-14 мин)

10. Усвоение нового материала (17-18 мин)

11. Домашнее задание (2-3 мин)

12. Итоги урока (2-3 мин)

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
III. Изучение нового материала
Рассмотрим задачу практического содержания. Лист картона прямоугольной формы имеет размеры 4 на 6 см. Его необходимо разрезать на равные квадраты наибольшей площади (без отходов). Найти длину стороны такого квадрата. Что можно сделать, чтобы быстро решить данную задачу? Давайте построим чертеж. Чертим прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Попробуйте разделить данный прямоугольник на одинаковые квадраты без остатка. Сколько таких квадратов может получиться? В каком из этих случаев квадраты будут иметь наибольшую площадь? Итак, мы решили данную задачу, перебрав все возможные случаи – всего 2. А если бы прямоугольник имел большие размеры, такие, что начертить его в тетради было бы невозможно, например, 42 на 66 см, что бы вы сделали, чтобы решить данную задачу? Давайте решим такую задачу другим способом, используя разложение на простые множители. Разложим на простые множители каждое из чисел 42 и 66. Что вы заметили в записи разложения этих чисел? Найдем произведение этих чисел – 6. Получили, что прямоугольник со сторонами 42 и 66 см можно разделить на равные квадраты наибольшей площади со стороной 6 см. Т.о. 6 – число, на которое делится и 42 и 66 без остатка. Такое число принято называть наибольшим общим делителем. Теперь прочитайте определение НОД, данное в учебнике. Итак, что называют НОД двух чисел?	Внимательно слушают учителя.   Необходимо сделать чертеж. Строят чертеж к задаче. 4 см 6 см Можно разделить на 24 и на 6 одинаковых квадратов. Квадрат будет иметь наибольшую площадь, когда его сторона равна 2 см.   Высказывают свои мнения.   Разложение на простые множители: 42=2*3*7, 66=2*3*11. В каждом из разложений присутствуют одинаковые множители – 2 и 3.   Читают определение в учебнике. НОД двух чисел a и b, называется наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b.

В качестве средства наглядности можно использовать презентацию MS PowerPoint檽 различные чертежи, схемы, макеты и таблицы.