Тригонометрическая форма записи

Геометрический подход к понятию комплексного числа позволяет записывать его в так называемой тригонометрической форме. Для этого вводится понятие модуля и аргумента.

Определение 2.1. Модулем комплексного числа z называется арифметическое значение корня квадратного из а² + b², т. е. | z | = .

Это понятие является обобщением понятия «абсолютная величина действительного числа», так как, если z = a + i · 0, то | z | = = | а |.

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа – это длина радиус-вектора ОА или расстояние от начала координат до точки с координатами (а, b) (рис. 1).

Определение 2.2. Аргументом комплексного числа z называют угол между положительным направлением оси и радиус-вектором , отсчитываемым против часовой стрелки.

Из этого определения следует, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до числа, кратного 2 . Поэтому на практике, в качестве аргумента, обычно берут наименьший по абсолютной величине угол, который обозначают = arg z и находят из соотношений:

cos = , sin = , 0 2 а = | z | · cos , b = | z | · sin ,

тогда z = a + i · b = | z | · (cos + i · sin ) и мы получили тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Определение 2.3. Тригонометрической формой записи комплексного числа z называется представление его в виде z = r × (cos + i × sin ), где r = | z | – неотрицательное действительное число, Î [0, 2 p).

Понятие модуля и аргумента комплексного числа z позволяют записать это число в тригонометрической форме.

Пример. Комплексное число z = – i записать в тригонометрической форме.

1. Изобразим данное комплексное число на координатной плоскости. Это будет радиус-вектор с концом в точке А (, - 1) (рис. 2)

2. Найдем его модуль | z | = | – i | = = = 2.

3. Найдем аргумент из соотношений:

cos = = , sin = = или

Таким образом, z = – i = 2 · [cos + i · sin ].

Существование двух форм записи одного и того же комплексного числа z = a + i · b = r × (cos + i × sin ) позволяет выполнять алгебраические операции на множестве С в той форме, которая наиболее удобна в каждом конкретном случае.

Теорема 2.2. Если z₁ = r₁ (cos + i × sin ), z₂ = r₂ (cos + i × sin )), то

1) z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · [ cos + i × sin ];

2) z₁ : z₂ = · [ cos + i × sin ], где z₂ 0;

3) если r ¹ 0, то для любого n Î Z справедлива формула Муавра

zⁿ = rⁿ · [ cos (n · ) + i × sin (n · )],

4) , k = 0, 1, 2, …, (n- 1).

Операции сложения и вычитания в тригонометрической форме на практике не выполняются.

Пример. Найти (1 – i)¹⁰⁵.

Имеем 1 – i = | 1 – i| × (cos + i × sin ), где | 1 – i| = = ,

, = ×p.

Таким образом, z = × (cos × p + i × sin × p) и

z¹⁰⁵ = () ¹⁰⁵× (cos × p + i × sin × p) = 2⁵⁰ × × (cos × p + i × ·sin × p) = 2⁵⁰ × × (cos × p + i × sin × p) = 2 ⁵⁰ × × (cos × p + i× sin × p) = 2⁵⁰× ×(– + i × ) = – 2⁵⁰ + i × 2⁵⁰.