Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры

Пусть V – непустое множество, состоящее из элементов произвольной природы. Будем обозначать его элементы малыми буквами латинского алфавита, и называть векторами. Пусть дано произвольное поле F = (F, +, ·), элементы которого будем обозначать малыми буквами греческого алфавита, и называть скалярами.

Зададим на множестве V бинарную операцию +: V×V V, +: (а, b) с, где а, b, c V и назовем ее сложением векторов ( а, b V а + b V).

Определим также внешнюю композицию w : F × V V, w : (, а) а

и назовем ее умножением скаляра на вектор ( F а V а V).

Определение. 3.1. Алгебра V = (V, +, { w | F }) называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия (аксиомы):

1 – 4. (V, +) – абелева группа.

5. а V 1 ∙ а V.

6. F а V () ∙ а = ( ∙ а) (умножение на скаляр ассоциативно).

7. F а V () ∙ а= а + ∙ а (умножение на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению векторов).

8. F а, b V ∙ (а + b) = а + ∙ b (умножение вектора на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению скаляров).

Замечание 1. Если F = R, то V над R называют вещественным векторным пространством, если F = C, то V над C называют комплексным векторным пространством.

Примеры. 1. Rⁿ – арифметическое векторное пространство, в котором любой вектор а Rⁿ представляет собой упорядоченный набор из n действительных чисел, то есть а = (), где R (i = 1, 2, …, n); в Rⁿ операция сложения векторов и умножение на скаляр задается правилами:

а) a + b = () + () = ();

б) · а = · () = ().

2. М_nn(R) – векторное пространство квадратных матриц n -го порядка над полем R. Любой вектор в этом пространстве представляет собой квадратную матрицу вида:

А + B = || a_ij || + || b_ij || = || a_ij + b_ij ||, i, j = 0, 1, 2,…, n; · || a_ij || = || а_ij ||.

3. V₂ – векторное пространство геометрических векторов плоскости.

4. V₃ – векторное пространство геометрических векторов трехмерного пространства.

Замечание 2. Из определения следует, что любое векторное пространство V над F прежде всего является аддитивной абелевой группой, поэтому все свойства абелевых групп справедливы и для векторных пространств.

В след. теореме сформулируем простейшие свойства (следствия из определения V над полем F).

Теорема 3.1. Если V векторное пространство над полем F, то а, b V, F:

1⁰. (a + b = a) (b = )

2⁰. (a + b = ) (b = – a)

3⁰. ( a = b 0) (a = b)

4⁰. ( a = a a ) ()

5⁰. ( a = ) ( = 0 a = )

6⁰. 0∙ a =

7⁰. ∙ = .

Для доказательства всех этих утверждений используются свойства аддитивной группы векторного пространства и другие аксиомы.

1⁰. Действительно, (a + b = a) (b = ), так как (V, +) – абелева группа, в которой существует единственный V: а V a + = а.

2⁰. Аналогично в группе (V, +) а V !(- а) V: а + (- а) = (- а) + а = , следовательно, b = - a.

3⁰. ( a = b 0) (a = b) так как F, а F – поле, то в нем F ( 0) F · = · = 1 и тогда · ( а) = · ( b) ( · ) а = ( · ) b (a = b).

6⁰. 0 ∙ a = . Действительно, 0 · а = (0 + 0) · а = 0 · а + 0 · а, отсюда по свойству 1⁰ следует, что 0 · а = .

Аналогично можно доказать остальные свойства.