III. Аксиомы дистрибутивности

(А 6) " a, b, c Î K a× (b + c) = a× b + a× c (дистрибутивность

(А 7) " a, b, c Î K (a + b) × c = a× c + b× c сложения и умножения)

Примеры: 1. (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×) – числовые кольца.

2. (M_nn(F), +, ×) – кольцо квадратных матриц порядка n.

3. (F [ x ], +, ×) – кольцо многочленов от одного переменного x над полем F.

4. (Z_n, +, ×) – кольцо классов вычетов по модулю n.

5. (N, +, ×) – не кольцо.

Определение 1.4. Кольцо (K, +, ∙) называется коммутативным, если выполняется аксиома коммутативности умножения.

(А8): " a, b Î G a · b = b · a

Определение 1.5. Кольцо (K, +, ∙) называется кольцом с единицей, если выполняется аксиома существования единицы по умножению:

(А 9): $ 1 Î G " a Î G a · 1 = a = 1 · a (существование единицы)

Примеры: 1. Все перечисленные кольца являются кольцами с единицами (в кольце матриц единицей будет единичная матрица Е_n).

2. Кольцо матриц (M_nn(F), +, ×) при n ³ 2 некоммутативно, остальные перечисленные кольца коммутативны.

3. Кольцо (2 ×Z, +, ×) чётных целых чисел является коммутативным кольцом без единицы.

4. Кольцо матриц вида ({ | a, b, c Î F }, +, ×) является некоммутативным кольцом без единицы.

Определение 1.6. Коммутативное кольцо (F, +, ×) с единицей 1 называется полем, если выполняются следующие аксиомы:

(А10): " a Î F (а 0) $ a^–1 Î F a× a^–1 = 1 = a^–1× a (обратимость всех ненулевых элементов)

(А11): 1 ¹ 0 (нейтральные элементы относительно сложения и умножения различны)

Примеры: 1. Среди перечисленных колец полями будут числовые поля (Q,+,×), (R, +, ×), (C, +, ×) и поле классов вычетов (Z _n,+, ×) по модулю простого числа n = p.

2. Кольцо (Z, +, ×) полем не является, т.к. не выполнено (А10).