Определитель произведения матриц

Теорема. Пусть А, ВÎ М_п(Р). Тогда |A×B| = |A|× |B|.

Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го типа над строками матрицы А (см. Теорему из 4.2) приведем её к ступенчатому виду: А … . Каждому ЭП над строками матрицы соответствует умножение этой матрицы на соответствующую элементарную матрицу слева. Таким образом, существуют элементарные матрицы Р₁, Р₂,…,P_k такие, что P_k … Р₂Р₁А = . Очевидно,

| | = (-1)^s|A|, где s – количество элементарных матриц II-го типа среди Р₁, Р₂ ,…,P_k. Рассмотрим два случая.

1. |A| = 0. Тогда последняя строка матрицы - нулевая, и значит, последняя строка матрицы В – также нулевая. Следовательно, 0 = | В| = |P_k … Р₂Р₁АB| = (-1)^s|AB| Þ |AB| = 0 = =|A|× |B|. В этом случае утверждение доказано.

2. |A| ¹ 0. В этом случае последняя строка матрицы - ненулевая, и матрица - треугольная. Далее как в 4.4, начиная с последней строки, с помощью только ЭП-I над строками можно сделать над каждым диагональным элементом нули, то есть получить диагональную матрицу D = diag(d₁,…,d_n):

… D. Значит, существуют элементарные матрицы I-го типа Q₁, Q₂,…,Q_t такие, что Q_t … Q₂Q₁ = D,

Q_t … Q₂Q₁P_k … Р₂Р₁А= D, и | A|= (-1)^s| | = (-1)^s|D|=(-1)^sd₁,…,d_n. Но при умножении матрицы В на D слева 1-я строка матрицы В умножается на d₁, 2-я строка матрицы В умножается на d₂ и т.д., то есть | DB| =d₁,…,d_n | B| = | D||B|. Следовательно,

| AB|=(-1)^s|Q_t … Q₂Q₁P_k … Р₂Р₁АB|=(-1)^s|DB|=(-1)^s|D||B| = | A||B|.

Таким образом, в случае 2 утверждение также доказано.

ÿ

Лекция 19.