Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Упражнения. 1. Доказать, что L1 » L1 (это рефлексивность изоморфизма)
|
|
1. Доказать, что L1» L1 (это рефлексивность изоморфизма).
2. Доказать, что если L1» L2 и L2» L3, то L1» L3 (это транзитивность изоморфизма).
Таким образом, отношение изоморфности между линейными пространствами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, все линейные пространства разбиваются на непересекающиеся классы изоморфных.
Утверждение. Если L1» L2, то dim L1 = dim L2.
Доказательство. Пусть j: L1® L2 - изоморфизм линейных пространств, и е1,…,еп – базис линейного пространства L1. Покажем, что jе1,…,jеп – базис линейного пространства L2. В самом деле, если уÎ L2, то j -1уÎ L1,
j -1у=a 1 ×е 1 +…+a п ×е п Þ у = a 1 jе 1 +…+a п jе п . Кроме того, jе1,…,jеп – линейно независимы, так как если
a 1 jе 1 +…+a п jе п = 0, то j(a 1 е 1 +…+a п е п ) = 0 = j (0) Þ
a 1 е 1 +…+a п е п = 0 (из инъективности j) Þ a 1 =…=a п = 0.
Таким образом, любой вектор из L2 представляется в виде линейной комбинации векторов jе1,…,jеп, и из их линейной независимости следует, что это представление однозначно (см. Теорему 1). Из Теоремы 2 следует, что jе1,…,jеп –
базис в L2.
ÿ
Теорема. Если dim L = n, то L» P n.
Доказательство. Пусть dim L = n, и е1,…,еп – базис в L. Рассмотрим j: L ® P n такое, что " х = х 1 е 1 +…+х п е п Î L
j х= (х 1 ,…,х п )Î P n. Из однозначности представления х в виде х = х 1 е 1 +…+х п е п следует, что j определено корректно. Биективность j очевидна. Линейность j требовалось доказать в упражнении в 7.2.
ÿ
Следствие. Все пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство P n. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.
Date: 2015-09-25; view: 409; Нарушение авторских прав