Линейные пространства

Определения, примеры.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Множество L называется линейным (или векторным) пространством над полем Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть " a, bÎ L определен результат операции

a+bÎL, и "aÎL, aÎ P определен результат операции a×aÎL, и

II. для этих операций выполнены 8 свойств:

1. (a + b)+ c = a + (b + c) " a, b, cÎ L.

2. $ элемент 0_LÎ L такой, что a + 0_L= 0_L +a = a "aÎ L.

0_L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

3. " aÎ L $ элемент a¢Î L такой, что a¢ + a = a + a¢ = 0_L .

a¢ называется элементом, противо­положным к a и обозначается -a.

4. a + b = b + a " a, b Î L,

5. a (a+b) = a a + a b " a, b Î L " a Î P,

6. (a+b) a = a a+b a, " aÎ L " a, b Î P,

7. (ab) a = a(b a) " aÎ L " a, b Î P,

8. 1 _P × a = a " aÎ L.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций W, то

W = {+,-(.), 0_L,a×|_{aÎ P} }.

Определение. Подмножество L₁Í L называется подпространством линейного пространства L, если L₁ само является линейным пространством относительно тех же операций W.

Упражнения.

1. Доказать, что L₁ - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L₁ выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть " a, bÎ L₁ a + bÎ L₁; "aÎL₁, aÎ P a×aÎL₁ ; 0_LÎ L₁.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0_L} и L являются (тривиальными) подпространствами.