Теорема Кронекера-Капелли

Запишем систему линейных уравнений (4.1) в векторном

виде Пусть Аⁱ= - i -й вектор-столбец нашей системы, i = 1,…,n, B = - вектор из правой части системы. Тогда наша система может быть записана в виде одного векторного уравнения

А¹х₁ + А²х₂ +…+ А^пх_п= В. Очевидно, решение этого векторного уравнения существует тогда и только тогда, когда вектор В является линейной комбинацией векторов А¹,…,А^п Û В Î <А¹,…, А^п> Û <В, А¹,…, А^п>Í <А¹,…, А^п> Û

<В,А¹,…,А^п>=<А¹,…,А^п>Û dim<В, А¹,…,А^п>= dim<А¹,…,А^п> Û rg{В,А¹,…,А^п} = rg{А¹,…,А^п} Û rg A = rg - ранг основной матрицы системы (4.1) по столбцам равен рангу расширенной матрицы. Этим мы закончили ещё одно продвинутое (сравните с 4.3) доказательство теоремы Кронекера-Капелли. Далее мы увидим, что ранги матрицы по столбцам и по строкам совпадают.