Доказательство. Þ. Пусть $ Î Zm такой, что = Û (ab)p 1Û ab = 1 + km

Þ. Пусть $ Î Z_m такой, что = Û (ab)p 1Û ab = 1 + km

Û ab - km = 1, и если d|a, d|m, то d|1.

Ü. Пусть НОД(a,m) = 1. Тогда " , Î Z_m, ¹ , также ¹ . В самом деле, если = , то = Þ (ac)p(ad) Þ m|(ac - ad) Þ m|a(c - d). Но НОД(a,m) = 1Þ

m|(c - d) Þ cp d Þ = - противоречие. Таким образом, все

элементы из × Z_m различны Þ × Z_m = Z_m Þ $ Î Z_m

та­кой, что = .

ÿ

Следствие. Z_m – поле Û m – простое число.

Доказательство. Ü. Если m = p – простое число, то

" a Î {1,2, …, p - 1} НОД(a,p)= 1 Þ - обратим, Z_m – поле.

Þ. Пусть Z_m – поле, и m – непростое число, m = kl, где k > 1, l > 1. Тогда НОД(k, m) ¹ 1, и для элемента Î Z_m, ¹ , об­ратный элемент в Z_m не существует - противоречие. Значит, m – простое.

ÿ

Поля.

Примеры числовых полей хорошо известны – это

< Q ,+, ×, -(), 0, 1 >, < R ,+, ×, -(), 0, 1 >, < C ,+, ×, -(), 0, 1 >.

Также мы доказали, что " простого числа p Î Z полем яв­ляется < Z_p ,+, ×, -(), , >.

Определение. Если P = <P, +, ×, -(), 0_K, 1_K > - поле,

FÍ P и F = <F,+, ×, -(), 0_K, 1_K > - поле, то F называют подполем поля P, а P называют надполем поля F или расширением поля F. Если ясно, какие операции имеются в виду, то говорят, что F – подполе поля P, а P – расширение поля F.

Определение. Если Р₁, Р₂ – поля, то отображение

j: Р₁® Р₂ называется изоморфизмом полей, если j - биекция, и " x,yÎ Р₁ j(x+y) = j x +j y, j(x×y) = j x ×j y. Если для полей Р₁ и Р₂ такой изоморфизм существует, то говорят, что поля Р₁ и Р₂ изоморфны и пишут Р₁» Р₂.

Date: 2015-09-25; view: 450; Нарушение авторских прав