![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Упражнения. 1. Доказать, что id: Р1® Р1 является изоморфизмом, то есть Р1 » Р1
1. Доказать, что id: Р1® Р1 является изоморфизмом, то есть Р1» Р1. 2. Доказать, что если j:Р1®Р2 – изоморфизм, то j -1:Р1®Р2 – изоморфизм, то есть если Р1» Р2, то Р2» Р1. 3. Доказать, что если j:Р1® Р2, y:Р2® Р3 – изоморфизмы, то y ◦j:Р1® Р3 – изоморфизм, то есть если Р1» Р2 и Р2» Р3, то Р1» Р3. 4. Доказать, что если j:Р1® Р2 – изоморфизм, то j(0 j(х -1)= (j х)-1 "хÎ Р1, х ¹ 0 Пусть P - поле. Будем обозначать элементы вида ab-1 = b-1a дробями ad = bc, = (ad + bc)(bd) -1= Любое поле P содержит элементы 0Р, 1Р, 1Р + 1Р = 2(1Р), 1Р + 1Р +1Р =3(1Р),…, m(1Р) "m Î N. Возможны два случая: 1) все элементы вида m(1Р), m Î N, различны. 2) среди этих элементов $ одинаковые, то есть в N $ m ¹ n: m(1Р)= n(1Р) (такой случай имеет место всегда для конечного поля Р). Пусть m > n. Тогда (m – n)(1Р)= 0Р , то есть существует такое t Î N, что t(1Р)= 0Р . Определение. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число t такое, что t(1Р)= 0Р . Если такого числа не существует (как в случае 1), то говорят, что характеристика поля равна 0 или ∞. Характеристика поля обозначается через char P. Очевидно, char Q = char R = char C = 0, char Zp = p. Теорема. Если р = char P ¹ 0, то р – простое число. Доказательство. Пусть р – не простое, p = kl, где k, l ¹ 1. Тогда 0Р = p(1Р)= (kl)(1Р) = k(1Р)× l(1Р), и k(1Р) ¹ 0Р, l(1Р) ¹ 0Р. Но в поле нет делителей нуля (см. 6.3), то есть мы получили противоречие. Значит, р – простое число. ÿ Определение. Поле Р называется простым, если у него нет подполей, отличных от Р. Теорема. Поле Q – простое. Доказательство. Пусть Q Ê Р – подполе. Тогда Р ' 0, 1, 1+1=2, 2+1=3,…, n ("n Î N ), - n ("n Î N ), ± ÿ Теорема. Поле Zp – простое. Доказательство. Пусть Zp Ê Р – подполе. Тогда Р ' ÿ Теорема. Пусть Р – поле, и char P = 0. Тогда 1) P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0, 2) подполе Р0 – простое, 3) Р0» Q. Доказательство. Очевидно, пересечение всех подполей в Р является, во-первых, подполем, во-вторых, оно является наименьшим подполем (так как содержится в любом другом) и, в-третьих, оно является простым подполем, так как не содержит собственных (меньших) подполей. Отсюда следуют 1-е и 2-е утверждения теоремы. Но мы докажем теорему иначе. Пусть поле P содержит подполе Р1. Тогда Р1 ' 0Р, 1Р, 1Р+1Р=2(1Р), 2(1Р)+1Р =3(1Р),…, n(1Р) ("n Î N ), (- n)(1Р) ("n Î N ), ±(n(1Р))- 1 ("n Î N ), m(1Р)×(n(1Р))- 1 ("n Î N, m Î Z ). Пусть Р0={m(1Р)×(n(1Р))- 1| nÎ N, mÎ Z }= { I. и II.2. при m = 0, n = 1 получаем, что 0P Î Р0 , 3. - Подполе Р0 - наименьшее, так как любое другое подполе Р1 содержит Р0. Отсюда следует, что Р0 - простое подполе, так как оно не содержит собственных (меньших) подполей. Докажем, что поле Р0 изоморфно полю Q. Определим отображение j: Q ® Р0 так: пусть " = m¢(1Р)×n (1Р) Þ (mn¢)(1Р) =(m¢n)(1Р)Þ (mn¢ - m¢n)(1Р))=0Р Þ mn¢ - m¢n = 0 (так как char P = 0) Þ ÿ Теорема. Пусть Р – поле, и char P = р. Тогда 1) P содержит наименьшее (по включению) подполе Р0, 2) подполе Р0 – простое, 3) Р0» Zp. Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы 3. Упражнение. Доказать эту теорему.
Лекция 13.
Date: 2015-09-25; view: 388; Нарушение авторских прав |