![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Доказательство
p - рефлексивно, так как " аÎ Z a – a = 0×m Þ a p a. p - симметрично, так как если a p b, то a – b = km, kÎ Z Þ b – a =(-k)m, и -kÎ Z Þ bp a. p - транзитивно, так как если a p b, и bp с, то a – b = km, где kÎ Z, b – c = lm, где lÎ Z Þ (a – b) +(b – c) = a – c = (k+l)m, и k+lÎ Z Þ a p с. ÿ Классы эквивалентных элементов по отношению p мы будем обозначать clp a или (если ясно, какое p имеется ввиду) cl a или = { b Î Z | b – a = km для некоторого k Î Z }= = { b Î Z | b – a Î m Z } = { b Î Z | b Î a + m Z } = a + m Z. Так как p - отношение эквивалентности на Z, то Z разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов. Фактормножество Z/ p, то есть множество классов эквивалентных элементов, мы будем обозначать Zm или Z/ (m). Если bÎ cl a, то говорят, что b – представитель из cl a. Очевидно, при m = 0 " a cl a = a, а отношение эквивалентности – это отношение равенства. Таким образом, при m = 0 Zm = Z. Далее будем считать, что m ¹ 0. Если a p b, то часто пишут a Разделим a и b на m с остатком. Пусть a = mq1 + r1, b = mq2 + r2, где 0 £ r1< m, 0 £ r2< m. Очевидно, a - r1= mq1, то есть m|(a – r1) Þ Утверждение. Доказательство. Ü. Пусть r1= r2. Тогда Þ. Пусть Þ r1p r2 Þ m| (r1 - r2). Но 0 < r1 - r2 < m. Получили противоречие, то есть r1= r2. ÿ Из утверждения мы получаем, что различных классов по модулю m ровно столько, сколько существует различных остатков от деления на m, то есть существует m различных классов, и Zm = { Очевидно, Зададим на Zm структуру кольца. I.Определим операции сложения и умножения так: пусть Докажем корректность нашего определения, то есть независимость его от выбора представителей в классах. Пусть a1Î a1= a + km, b1= b + lm, и a1+ b1= a + b + (k + l)m, a1 b1= ab +(kb + al + klm)m Þ (a1+ b1)p (a + b), (a1 b1)p(a b) Þ II. Проверим свойства операций. 1. ( = 2. Так как " элемент по сложению. 3. Так как " Свойства 4, 5, 8, 9 из определения кольца следуют из соответствующих свойств кольца целых чисел и доказываются так же, как и свойство 1. Упражнение. Доказать свойства 4, 5, 8, 9. 6. Так как " элемент по умножению. Таким образом, мы доказали, что Zm - АКУ-кольцо. Пример. Выпишем таблицы сложения и умножения для Z6.
Так как Утверждение. Элемент Date: 2015-09-25; view: 358; Нарушение авторских прав |