Решение СЛУ по Крамеру

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:

(5.1)

Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения А_ik основной матрицы А системы (5.1):

1-е уравнение домножим на А_1k, второе – на А_2k, и т.д., п -е – на А_пk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученного уравнения коэффициент при х_k будет равен = |A|. А коэффициент при х_s, s ¹ k, равен - это определитель, у которого k- й столбец в матрице А заменен на s- й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k- м и s- м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех х_s, s ¹ k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид - это определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой k- го столбца на столбец из правых частей системы (5.1). Этот определитель мы будем обозначать D_k = . Следовательно, после сложения домноженных уравнений мы получим уравнение вида |A|× х_k= D_k. Это уравнение – следствие системы (5.1).

Если |A|= 0 и $ D_k ¹ 0, то уравнение |A|× х_k= D_k не имеет решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.

Если |A| ¹ 0, то из решения по Гауссу система (5.1) - совместная и определенная, и её решения являются решениями уравнений |A|× х_k= D_k, которые имеют единственное решение х_k = D_k / |A|. Следовательно, набор х_k = D_k / |A|, k = 1,…,п, является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.

Если |A|= 0 и все D_k= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать её, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.

Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.

Лекция 10.